La lunette astronomique

Thème du programme : Ondes et signaux — Former des images, décrire la lumière par un flux de photons Niveau : Terminale, enseignement de spécialité physique-chimie Place dans la progression : premier chapitre d'optique de l'année. Tu sais construire l'image d'un objet par une lentille ; nous allons associer deux lentilles pour observer ce qui est trop petit et trop loin pour l'œil nu. C'est l'instrument qui a fait basculer l'astronomie en 1609, et le raisonnement tient en une figure.

Prérequis : lentille mince convergente, centre optique, foyers et distance focale ; construction de l'image d'un objet par une lentille ; grandissement ; angle en radian et approximation des petits angles ; fonctionnement élémentaire de l'œil.

Dans ce chapitre, essaie de répondre aux questions posées avant de lire la suite : c'est en formulant ta propre hypothèse, même fausse, que tu retiens le mieux l'explication qui suit.

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Paragraphe 1 — Ce que fait une lentille d'un objet lointain

1.1 Rappels sur la lentille mince convergente

Une lentille mince convergente est caractérisée par :

• son centre optique O, par lequel tout rayon passe sans être dévié ;
• son foyer image F′, point où convergent les rayons arrivant parallèlement à l'axe optique ;
• son foyer objet F, symétrique de F′ par rapport à O, tel que tout rayon passant par F émerge parallèlement à l'axe.

La distance focale est la distance $f' = \overline{OF'}$, positive pour une lentille convergente. On lui associe la vergence :

$C = \dfrac{1}{f'}$

avec $f'$ en mètre et C en dioptrie (δ). Une lentille de 5 cm de distance focale a une vergence de 20 δ.

Les trois rayons particuliers, à connaître par cœur, suffisent à construire n'importe quelle image :

Une convention d'écriture. Le prime (′) marque toujours le côté image, c'est-à-dire l'aval de la lentille : F′ est le foyer image, A′B′ l'image de AB. C'est une convention, mais l'oublier rend tout le chapitre illisible.

1.2 Un objet « à l'infini »

🤔 À toi de jouer. Une étoile est à plusieurs milliards de kilomètres et mesure un million de kilomètres de diamètre. Pourtant son image, derrière une lentille de 5 cm, tient dans une fraction de millimètre. Comment est-ce possible — et où, exactement, se forme cette image ?

En astronomie, tous les objets observés sont si lointains que les rayons issus d'un même point de l'objet arrivent sur la lentille parallèles entre eux. On dit que l'objet est à l'infini. Ce n'est pas une approximation grossière : pour la Lune, à 380 000 km, l'écart à cette hypothèse est totalement négligeable devant les dimensions de l'instrument.

Ce qui caractérise alors un objet, ce n'est plus sa taille, mais l'angle sous lequel on le voit — son diamètre apparent θ. La Lune et le Soleil ont d'ailleurs presque le même diamètre apparent, environ 0,5°, alors que leurs tailles réelles diffèrent d'un facteur 400. C'est cette coïncidence qui rend possibles les éclipses totales.

Où se forme l'image ? Puisque les rayons issus d'un point objet à l'infini sont parallèles entre eux, ils convergent tous en un même point du plan focal image — le plan perpendiculaire à l'axe optique passant par F′.

• Si le point objet est sur l'axe, son image est en F′ lui-même.
• Si le point objet est vu sous un angle θ par rapport à l'axe, son image est le point B₁ du plan focal image tel que le rayon passant par O — non dévié — l'atteigne.

Schéma : deux points objets à l'infini, l'un sur l'axe, l'autre vu sous l'angle θ. Leurs images se forment toutes deux dans le plan focal image.

Le triangle formé par O, F′ et B₁ donne immédiatement la taille de l'image intermédiaire :

$\overline{A_1B_1} = f' \times \tan\theta \simeq f' \times \theta$

la dernière égalité étant valable pour de petits angles, exprimés en radian.

Retour sur la question. L'image d'une étoile ne dépend pas de la taille de l'étoile, mais de son diamètre apparent, qui est minuscule. Et elle se forme toujours dans le plan focal image, à la distance f′ derrière la lentille — d'où la règle pratique : pour mettre au point sur un objet lointain, on place l'écran dans le plan focal image. C'est aussi la méthode la plus simple pour mesurer une distance focale.

1.3 L'objectif : première lentille de la lunette

La première lentille d'une lunette astronomique s'appelle l'objectif. C'est elle qui est tournée vers le ciel, et elle a deux rôles :

1. collecter la lumière — d'autant plus qu'elle est large, ce qui permet de voir des astres trop faibles pour l'œil nu ;
2. former une image intermédiaire A₁B₁ dans son plan focal image.

Cette image intermédiaire est réelle — on peut la recueillir sur un écran, et c'est précisément ce que le TP te fera vérifier — et renversée, puisque le rayon passant par O croise l'axe.

Elle est aussi très petite. Avec un objectif de distance focale f′₁ = 900 mm pointé sur la Lune (θ = 0,5° = 8,7 × 10⁻³ rad) :

$\overline{A_1B_1} = 900 \times 8{,}75 \times 10^{-3} = 7{,}9\ \mathrm{mm}$

Huit millimètres à peine : c'est bien trop petit pour être examiné à l'œil nu. Il faut donc une loupe. Ce sera le rôle de la seconde lentille.

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Paragraphe 2 — La lunette afocale

2.1 L'oculaire, une loupe sur l'image intermédiaire

La seconde lentille, celle contre laquelle on place l'œil, s'appelle l'oculaire. Sa distance focale f′₂ est petite devant celle de l'objectif — typiquement quelques millimètres à quelques centimètres.

Son rôle est d'examiner l'image intermédiaire A₁B₁ comme on examinerait un timbre à la loupe. Or l'image intermédiaire, formée par l'objectif, joue pour l'oculaire le rôle d'objet.

Le point qui déroute. A₁B₁ est à la fois l'image donnée par l'objectif et l'objet pour l'oculaire. C'est le principe de tout instrument à plusieurs lentilles : on traite les lentilles l'une après l'autre, l'image de l'une devenant l'objet de la suivante.

2.2 La condition afocale

🤔 À toi de jouer. On peut placer l'oculaire n'importe où derrière l'objectif. Pourtant, une lunette astronomique impose une distance bien précise entre les deux. Laquelle, et pourquoi celle-là ?

L'œil est au repos — il n'accommode pas — lorsqu'il observe un objet à l'infini. Comme une séance d'observation dure des heures, on veut que l'image finale soit, elle aussi, rejetée à l'infini. Cela évite toute fatigue visuelle.

Or une lentille donne une image à l'infini lorsque l'objet est placé dans son plan focal objet. Il faut donc que A₁B₁ se trouve dans le plan focal objet de l'oculaire :

$\boxed{F'_1 = F_2}$

Le foyer image de l'objectif coïncide avec le foyer objet de l'oculaire. Un système qui transforme ainsi l'infini en infini est dit afocal : il n'a ni foyer objet ni foyer image.

Conséquence pratique, et c'est la relation à retenir pour tout réglage :

$D = \overline{O_1O_2} = f'_1 + f'_2$

Avec f′₁ = 900 mm et f′₂ = 20 mm, les deux lentilles sont distantes de 920 mm. C'est ce qui fixe la longueur du tube.

À ne pas écrire. D = f′₁ − f′₂ correspond à un autre instrument, la lunette de Galilée, dont l'oculaire est divergent. Elle donne une image droite, ce qui est commode pour regarder un paysage — c'est le principe des jumelles de théâtre — mais son champ est étroit. La lunette au programme est celle de Kepler, à deux lentilles convergentes, qui donne une image renversée.

2.3 Schéma complet de la lunette

Schéma : marche d'un faisceau issu d'un point objet à l'infini, vu sous l'angle θ. Le faisceau ressort parallèle, sous l'angle θ′.

Pour tracer ce schéma sans se tromper, procède toujours dans cet ordre :

1. Tracer l'axe optique, placer O₁ et O₂, puis les foyers. Marquer que F′₁ et F₂ sont confondus.
2. Tracer le faisceau incident : des rayons parallèles entre eux, inclinés de θ sur l'axe, couvrant toute l'ouverture de l'objectif.
3. Parmi eux, tracer le rayon particulier passant par O₁ : il n'est pas dévié et coupe le plan focal image de l'objectif en B₁. Tous les autres rayons du faisceau convergent en ce même point B₁.
4. Placer A₁ sur l'axe, à la verticale de B₁ : l'image intermédiaire A₁B₁ est tracée, renversée.
5. Traiter l'oculaire : B₁ étant dans son plan focal objet, tous les rayons qui en sont issus ressortent parallèles entre eux. Pour trouver leur direction, tracer le rayon particulier passant par O₂, non dévié.

2.4 Le faisceau émergent

Le point 2 du programme demande explicitement de savoir représenter le faisceau émergent issu d'un point objet à l'infini. Retiens sa nature :

À un faisceau incident parallèle correspond un faisceau émergent parallèle — c'est la signature d'un système afocal. Seule change l'inclinaison : θ à l'entrée, θ′ à la sortie, avec θ′ > θ.

Le faisceau émergent est aussi plus étroit que le faisceau incident. Sa section la plus resserrée porte un nom : le cercle oculaire. C'est l'image de la monture de l'objectif à travers l'oculaire, et c'est là qu'il faut placer son œil pour recevoir toute la lumière collectée. Son diamètre vaut :

$d = \dfrac{D_{objectif}}{G}$

où G est le grossissement, défini au paragraphe suivant. Le repérer est d'ailleurs la méthode la plus précise pour mesurer G en salle de TP : on éclaire l'objectif, et l'on cherche derrière l'oculaire le petit disque lumineux le plus net.

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Paragraphe 3 — Grossissement et lunettes réelles

3.1 Définir le grossissement

Une lunette ne rend pas la Lune plus grande : elle augmente l'angle sous lequel on la voit. C'est exactement ce dont l'œil a besoin, puisqu'il ne distingue deux points que s'ils lui parviennent sous un angle suffisant.

On définit le grossissement par :

$G = \dfrac{\theta'}{\theta}$

où θ est l'angle sous lequel l'objet est vu à l'œil nu — c'est-à-dire l'angle du faisceau incident — et θ′ l'angle sous lequel son image est vue à travers la lunette. C'est une grandeur sans unité, qui ne dépend pas de l'objet observé.

Le piège à éviter. Ne confonds pas le grossissement G, rapport de deux angles, avec le grandissement γ, rapport de deux longueurs, utilisé pour une lentille seule. Ici, l'image finale étant à l'infini, elle n'a pas de taille : parler de grandissement n'aurait aucun sens.

3.2 Établir l'expression du grossissement

C'est une démonstration exigible. Elle tient en trois lignes et repose entièrement sur la figure.

Schéma : les deux triangles rectangles qui portent la démonstration, construits sur la même image intermédiaire A₁B₁.

Du côté de l'objectif. Le rayon incident passant par O₁ n'est pas dévié : il fait donc l'angle θ avec l'axe. Dans le triangle rectangle O₁A₁B₁, de côtés $\overline{A_1B_1}$ et $\overline{O_1A_1} = f'_1$ :

$\tan\theta = \dfrac{\overline{A_1B_1}}{f'_1}$

Du côté de l'oculaire. Le rayon émergent passant par O₂ n'est pas dévié non plus : il fait l'angle θ′ avec l'axe. Dans le triangle rectangle O₂A₁B₁, de côtés $\overline{A_1B_1}$ et $\overline{A_1O_2} = f'_2$ :

$\tan\theta' = \dfrac{\overline{A_1B_1}}{f'_2}$

En divisant. Les angles étant petits, $\tan\theta \simeq \theta$ et $\tan\theta' \simeq \theta'$ (en radian), d'où :

$G = \dfrac{\theta'}{\theta} = \dfrac{\overline{A_1B_1}/f'_2}{\overline{A_1B_1}/f'_1} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{G = \dfrac{f'_1}{f'_2}}$

La taille de l'image intermédiaire se simplifie : le grossissement ne dépend que des deux distances focales.

Ce que la formule dit. Pour grossir davantage, il faut un objectif de grande focale et un oculaire de petite focale. C'est pourquoi les lunettes astronomiques sont longues, et pourquoi on livre plusieurs oculaires interchangeables avec un même tube.

Et le sens de l'image ? La formule donne la valeur de G, mais l'image reste renversée : c'est le rayon passant par O₁ qui croise l'axe. Sans conséquence pour observer une planète, gênant pour un usage terrestre — les longues-vues ajoutent alors une lentille ou un prisme redresseur.

3.3 Exploiter les données d'une lunette commerciale

Une lunette du commerce est désignée par deux nombres, par exemple 60 / 900 :

Avec les trois oculaires cités, la même lunette offre :

$G = \dfrac{900}{25} = 36 \qquad G = \dfrac{900}{10} = 90 \qquad G = \dfrac{900}{6} = 150$

Attention aux unités. f′₁ et f′₂ doivent être exprimées dans la même unité avant de faire le quotient. L'erreur la plus fréquente au bac consiste à diviser des millimètres par des centimètres.

La lumière collectée. L'objectif se comporte comme un entonnoir à photons : il en recueille proportionnellement à sa surface, donc au carré de son diamètre. Comparé à la pupille de l'œil, de diamètre 6 mm environ dans l'obscurité :

$\dfrac{S_{objectif}}{S_{pupille}} = \left(\dfrac{60}{6}\right)^2 = 100$

Cette lunette collecte cent fois plus de lumière que l'œil nu. C'est là son intérêt principal — avant même le grossissement.

3.4 Pourquoi on ne grossit pas indéfiniment

🤔 À toi de jouer. Puisque G = f′₁/f′₂, il suffirait d'un oculaire de 0,5 mm pour atteindre G = 1800 avec la lunette précédente. Pourquoi aucun fabricant ne le propose-t-il ?

Parce que grossir n'ajoute aucune information. Trois limites se conjuguent :

La diffraction. La lumière qui traverse une ouverture circulaire de diamètre D est diffractée : l'image d'un point n'est jamais un point, mais une petite tache. Deux détails plus rapprochés que l'angle

$\alpha \simeq 1{,}22\,\dfrac{\lambda}{D}$

ne seront jamais séparés, quel que soit l'oculaire. Pour D = 60 mm et λ = 550 nm, α = 1,1 × 10⁻⁵ rad, soit environ 2,3 secondes d'arc. Au-delà, grossir ne fait qu'agrandir le flou. D'où la règle pratique des astronomes : le grossissement maximal utile vaut environ 2 × D exprimé en millimètres, soit 120 pour cette lunette.

La luminosité. La lumière collectée est fixée par D. En l'étalant sur une image plus grande, on la dilue : à fort grossissement, l'image devient sombre.

L'atmosphère. La turbulence de l'air brouille les images au-delà de 1 à 2 secondes d'arc dans de bonnes conditions. C'est la raison pour laquelle les grands observatoires sont perchés en altitude — et pourquoi le télescope spatial Hubble a été mis en orbite.

Retour sur la question. Un oculaire de 0,5 mm donnerait une image quinze fois plus grande que la limite utile, mais aussi quinze fois plus floue et bien plus sombre. Le fabricant préfère vendre un oculaire de 10 mm qui montre réellement quelque chose.

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Repère historique : trois ans pour changer le ciel

• 1608 — Hans Lippershey, lunetier à Middelbourg aux Pays-Bas, dépose une demande de brevet pour un tube muni de deux verres qui fait paraître les objets lointains plus proches. Le brevet lui est refusé, l'idée circulant déjà chez ses concurrents. L'instrument est conçu pour la navigation et la guerre ; personne ne songe à le pointer vers le haut.
• 1609 — Galilée, à Padoue, entend parler de l'invention sans l'avoir vue. Il en reconstruit une en quelques mois, puis la dirige vers le ciel. En quelques nuits, il découvre les reliefs de la Lune, quatre satellites en orbite autour de Jupiter et les phases de Vénus. Publiées en 1610 dans le Sidereus Nuncius, ces observations ruinent l'idée que tout tourne autour de la Terre.
• 1611 — Johannes Kepler, dans sa Dioptrice, propose de remplacer l'oculaire divergent de Galilée par un oculaire convergent. L'image est renversée, mais le champ observable est bien plus large. C'est exactement la lunette de ce chapitre, et c'est elle qu'utilisent encore les astronomes.
• 1668 — Isaac Newton contourne un défaut tenace des lunettes, l'irisation des contours due à la dispersion du verre, en remplaçant l'objectif par un miroir. Le télescope est né, et il finira par supplanter la lunette.
• 1897 — l'observatoire Yerkes, dans le Wisconsin, inaugure une lunette de 1,02 m de diamètre. Elle détient toujours le record, et le détiendra sans doute pour toujours : une lentille de cette taille fléchit sous son propre poids. Les télescopes actuels, eux, atteignent 10 m, et 39 m sont en construction au Chili.

Une invention de marchand, détournée en un an par un professeur de mathématiques, corrigée en trois par un astronome : la lunette est l'exemple type d'un objet technique devenu instrument scientifique par accident.

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Erreurs fréquentes à anticiper

• Confondre le grossissement G (rapport d'angles, sans unité) et le grandissement γ (rapport de longueurs).
• Écrire D = f′₁ − f′₂ : c'est la lunette de Galilée, à oculaire divergent, pas celle du programme.
• Confondre le foyer objet F₂ de l'oculaire et son foyer image F′₂. La condition afocale s'écrit F′₁ = F₂.
• Oublier que l'image finale est à l'infini et chercher à lui attribuer une position ou une taille.
• Confondre le diamètre de l'objectif, qui fixe la lumière collectée, et sa distance focale, qui fixe le grossissement.
• Diviser des millimètres par des centimètres dans G = f′₁ / f′₂.
• Utiliser tan θ ≃ θ avec un angle en degrés : l'approximation n'est valable qu'en radian.
• Oublier que l'image intermédiaire est renversée, et tracer une image droite.
• Croire qu'augmenter le grossissement améliore toujours l'observation : la diffraction et l'atmosphère fixent une limite.
• Tracer un faisceau émergent convergent ou divergent : dans une lunette afocale, il est parallèle.