Dynamique du dipôle RC

Thème du programme : Ondes et signaux — Étudier la dynamique d'un système électrique Niveau : Terminale, enseignement de spécialité physique-chimie Place dans la progression : jusqu'ici, les circuits étudiés étaient en régime permanent : les tensions et les intensités ne variaient pas. Un flash d'appareil photo, un défibrillateur ou l'écran tactile de ton téléphone reposent au contraire sur ce qui se passe pendant qu'un circuit change d'état. Nous allons étudier ce régime transitoire sur le circuit le plus simple qui en présente un : un condensateur associé à une résistance. Ce sera aussi l'occasion de résoudre ta première équation différentielle.

Prérequis (Première) : intensité d'un courant et charge électrique, I = Q/Δt ; loi des mailles, loi d'Ohm U = R × I ; convention récepteur ; dérivée d'une fonction ; fonction exponentielle et logarithme népérien (mathématiques).

Dans ce chapitre, essaie de répondre aux questions posées avant de lire la suite : c'est en formulant ta propre hypothèse, même fausse, que tu retiens le mieux l'explication qui suit.

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Paragraphe 1 — Des charges qui s'accumulent

1.1 L'intensité, un débit de charges

Un courant électrique est un déplacement d'ensemble de charges. En Première, l'intensité était définie en régime permanent : si une charge Q traverse une section du conducteur pendant une durée Δt,

$I = \dfrac{Q}{\Delta t}$

avec I en ampère (A), Q en coulomb (C) et Δt en seconde (s).

En régime variable, l'intensité change d'un instant à l'autre. On conserve la même idée, mais sur une durée infiniment courte : si une charge élémentaire dq traverse la section pendant la durée dt,

$\boxed{i = \dfrac{dq}{dt}}$

L'intensité est la dérivée de la charge par rapport au temps : c'est un débit de charges, exactement comme un débit d'eau est la dérivée du volume écoulé. Par convention, les grandeurs variables s'écrivent en minuscules : i, q, u.

Ordre de grandeur. Un chargeur de téléphone qui délivre 2,4 A fait passer 2,4 C chaque seconde, soit $\dfrac{2{,}4}{1{,}60 \times 10^{-19}} = 1{,}5 \times 10^{19}$ électrons par seconde.

1.2 Le condensateur

🤔 À toi de jouer. Pendant un orage, la base d'un nuage se charge négativement et le sol, en dessous, positivement. Entre les deux, il n'y a que de l'air, un isolant. Qu'y a-t-il de commun entre cette situation et un composant électronique ?

Un condensateur est constitué de deux surfaces conductrices en regard, appelées armatures, séparées par un isolant appelé diélectrique (air, plastique, céramique, oxyde…). Son symbole normalisé représente justement ces deux armatures face à face.

Lorsqu'on l'alimente, un courant circule dans les fils mais ne traverse pas l'isolant : des charges s'accumulent sur une armature, et des charges de signe opposé sur l'autre. On dit que le condensateur se charge. Les deux charges sont toujours opposées :

$q_A = -q_B$

On note simplement q la charge de l'armature vers laquelle pointe la flèche de l'intensité.

Schéma : deux armatures de surface S, distantes de e, portant des charges opposées. Un champ électrique règne dans l'isolant qui les sépare.

Retour sur la question. Le nuage et le sol forment un condensateur géant : deux surfaces conductrices en regard, séparées par un isolant, portant des charges opposées. Lorsque la charge devient trop importante, l'isolant cède et le condensateur se décharge brutalement : c'est l'éclair. On retrouve la même structure dans bien d'autres situations :

1.3 La capacité

Pour un condensateur donné, la charge accumulée est proportionnelle à la tension entre ses armatures :

$\boxed{q = C \times u_C}$

avec q en coulomb, u(C) en volt et C la capacité du condensateur, en farad (F). La capacité mesure l'aptitude du condensateur à stocker des charges : sous la même tension, un condensateur de plus grande capacité en accumule davantage.

Le farad est une unité énorme. Les capacités usuelles s'expriment en sous-multiples :

Influence de la géométrie. L'expérience montre que la capacité est d'autant plus grande que les armatures sont grandes et proches l'une de l'autre, et qu'elle dépend de l'isolant. Pour un condensateur plan, on montre que :

$C = \varepsilon \times \dfrac{S}{e}$

où S est la surface en regard des armatures (m²), e leur écartement (m) et ε une constante qui caractérise l'isolant — pour l'air, ε ≈ 8,85 × 10⁻¹² F·m⁻¹. Deux feuilles d'aluminium de 10 cm × 10 cm, séparées de 0,1 mm d'air, ne forment qu'un condensateur de 0,9 nF environ.

Comment fait-on des condensateurs d'un farad ? On multiplie la surface en enroulant de longues bandes métalliques, on réduit l'écartement à quelques nanomètres avec une couche d'oxyde, et l'on choisit des isolants à très grand ε. Les supercondensateurs utilisent des matériaux poreux, comme le carbone activé ou le graphène, dont un seul gramme peut offrir plus de 1 000 m² de surface.

1.4 Intensité et tension : la relation fondamentale

En combinant $i = \dfrac{dq}{dt}$ et $q = C \times u_C$, avec C constante, on obtient la relation qui gouverne tout le chapitre :

$\boxed{i = C \times \dfrac{du_C}{dt}}$

Elle se lit ainsi : un condensateur n'est traversé par un courant que si la tension à ses bornes varie.

• Si u(C) augmente, i > 0 : le condensateur se charge.
• Si u(C) diminue, i < 0 : il se décharge, le courant circule dans l'autre sens.
• Si u(C) est constante, i = 0 : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

Conséquence essentielle. Une intensité finie ne peut pas faire varier u(C) infiniment vite : la tension aux bornes d'un condensateur ne subit jamais de discontinuité. C'est ce qui fait tout l'intérêt d'un condensateur — et ce qui produira le régime transitoire du paragraphe 2.

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Paragraphe 2 — Le dipôle RC

2.1 Le montage

Un dipôle RC est l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C. On l'étudie avec le montage suivant : un générateur de tension constante E, et un interrupteur à deux positions.

Schéma : en position 1, le générateur charge le condensateur à travers R ; en position 2, le condensateur se décharge dans R. Les tensions sont fléchées en convention récepteur.

🤔 À toi de jouer. À l'instant où l'on bascule en position 1, le condensateur est déchargé. Sa tension va-t-elle sauter immédiatement à E ? Sinon, comment va-t-elle évoluer ?

2.2 L'équation différentielle de la charge

C'est une démonstration exigible. Interrupteur en position 1, à partir de t = 0 :

1. Loi des mailles : $u_R + u_C = E$
2. Loi d'Ohm : $u_R = R \times i$
3. Relation du condensateur : $i = C \times \dfrac{du_C}{dt}$

En reportant 3 dans 2, puis dans 1 :

$R\,C\,\dfrac{du_C}{dt} + u_C = E \qquad \Longleftrightarrow \qquad \boxed{\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{1}{RC}\,u_C + \dfrac{E}{RC}}$

C'est une équation différentielle : son inconnue n'est pas un nombre, mais une fonction u(C)(t), reliée à sa propre dérivée.

Pour la décharge, interrupteur en position 2, le générateur n'est plus dans la maille : la loi des mailles devient $u_R + u_C = 0$, et le même raisonnement donne :

$R\,C\,\dfrac{du_C}{dt} + u_C = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{1}{RC}\,u_C$

Le piège du fléchage. Ces équations supposent la convention récepteur : les flèches de u(R) et de u(C) sont opposées à celle de i. Si l'énoncé flèche autrement, des signes changent. Refais toujours le schéma et fléche-le toi-même avant d'écrire la loi des mailles.

2.3 Capacité mathématique : résoudre y' = ay + b

Les deux équations sont du même type : $y' = a\,y + b$, avec a et b constants et a ≠ 0.

Le résultat à connaître. Les solutions de cette équation sont les fonctions

$y(t) = K\,e^{a t} - \dfrac{b}{a}$

où K est une constante réelle, fixée par la condition initiale.

La méthode, en trois temps :

1. Identifier a et b en mettant l'équation sous la forme y' = ay + b.
2. Écrire la forme générale de la solution, $y = K\,e^{at} - \dfrac{b}{a}$.
3. Déterminer K grâce à la valeur de y à l'instant initial.

Application à la charge. Ici $a = -\dfrac{1}{RC}$ et $b = \dfrac{E}{RC}$, donc $-\dfrac{b}{a} = E$ et :

$u_C(t) = K\,e^{-\frac{t}{RC}} + E$

Le condensateur est initialement déchargé : $u_C(0) = 0$, donc $K + E = 0$, soit K = −E. Finalement :

$\boxed{u_C(t) = E\left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)} \qquad \text{(charge)}$

Application à la décharge. Ici b = 0, donc $u_C(t) = K\,e^{-\frac{t}{RC}}$. Le condensateur est initialement chargé sous E : $u_C(0) = E$, donc K = E :

$\boxed{u_C(t) = E\,e^{-\frac{t}{RC}}} \qquad \text{(décharge)}$

Vérifier une solution. On peut toujours contrôler un résultat en le reportant dans l'équation : pour la charge, $\dfrac{du_C}{dt} = \dfrac{E}{RC}\,e^{-\frac{t}{RC}}$, et $RC \times \dfrac{E}{RC}\,e^{-\frac{t}{RC}} + E - E\,e^{-\frac{t}{RC}} = E$. L'équation est bien vérifiée.

2.4 L'intensité du courant

On l'obtient en dérivant : $i = C\,\dfrac{du_C}{dt}$.

• Charge : $i(t) = \dfrac{E}{R}\,e^{-\frac{t}{RC}}$. L'intensité est maximale à t = 0, égale à E/R — le condensateur déchargé se comporte d'abord comme un simple fil —, puis décroît vers zéro.
• Décharge : $i(t) = -\dfrac{E}{R}\,e^{-\frac{t}{RC}}$. Même allure, mais négative : le courant circule en sens inverse.

Retour sur la question. La tension ne saute pas à E : elle part de 0 et monte d'abord rapidement, puis de plus en plus lentement, pour s'approcher de E sans jamais l'atteindre rigoureusement. C'est l'intensité, elle, qui subit une discontinuité : elle passe brusquement de 0 à E/R.

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Paragraphe 3 — Le temps caractéristique et ses usages

3.1 Le temps caractéristique τ = RC

Les deux solutions ne dépendent de R et de C qu'à travers leur produit. On définit le temps caractéristique — ou constante de temps — du dipôle RC :

$\boxed{\tau = R \times C}$

C'est bien une durée. D'après la loi d'Ohm, 1 Ω = 1 V·A⁻¹. D'après $i = C\,\dfrac{du_C}{dt}$, 1 F = 1 A·s·V⁻¹. Donc :

$[R \times C] = \mathrm{V \cdot A^{-1}} \times \mathrm{A \cdot s \cdot V^{-1}} = \mathrm{s}$

Exemple. R = 10 kΩ et C = 100 µF donnent $\tau = 10 \times 10^{3} \times 100 \times 10^{-6} = 1{,}0\ \mathrm{s}$.

3.2 Ce que vaut u(C) aux instants remarquables

Au bout de 5τ, la tension a atteint sa valeur finale à moins de 1 % près. On considère alors que le régime transitoire est terminé et que le circuit est en régime permanent : u(C) et i ne varient plus. La durée de la charge ou de la décharge est donc de l'ordre de 5τ.

Ne pas confondre. τ n'est pas la durée de la charge : c'est le temps caractéristique qui la fixe. La charge dure environ 5τ.

Schéma : trois lectures graphiques du même temps caractéristique.

3.3 Déterminer τ graphiquement

🤔 À toi de jouer. On te donne la courbe u(C)(t) enregistrée lors d'une charge. Combien de méthodes différentes vois-tu pour en tirer τ ?

Méthode 1 — le point à 63 % (charge) ou 37 % (décharge). On repère la valeur 0,63 × E (ou 0,37 × E) sur l'axe des tensions, et on lit l'abscisse correspondante sur la courbe : c'est τ.

Méthode 2 — la tangente à l'origine. La tangente à la courbe en t = 0 coupe l'asymptote horizontale (u = E en charge, u = 0 en décharge) à l'instant t = τ.

Méthode 3 — la linéarisation (décharge). En prenant le logarithme népérien de $u_C = E\,e^{-t/\tau}$ :

$\ln(u_C) = \ln(E) - \dfrac{1}{\tau} \times t$

La courbe ln(u(C)) = f(t) est une droite de coefficient directeur −1/τ. Cette méthode exploite tous les points de mesure, et pas un seul : c'est la plus précise, et celle que l'on programme en Python.

Retour sur la question. Trois méthodes, et elles doivent donner la même valeur. En cas d'écart, la linéarisation est la plus fiable ; la tangente à l'origine est la plus sensible aux imprécisions du tracé.

3.4 Les capteurs capacitifs

La capacité dépend de la géométrie et de l'isolant. Inversement, toute grandeur qui modifie la géométrie ou l'isolant modifie la capacité : il suffit de mesurer C — par exemple à travers le temps caractéristique τ = RC — pour mesurer cette grandeur. C'est le principe des capteurs capacitifs.

Pourquoi l'écran tactile ne réagit pas avec des gants. Le tissu est isolant : il ne modifie pas le champ électrique entre les grilles. Les gants « tactiles » intègrent des fils conducteurs au bout des doigts.

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Repère historique : de la bouteille de Leyde au supercondensateur

• 1745 — Ewald von Kleist, en Poméranie, puis Pieter van Musschenbroek, à Leyde aux Pays-Bas, découvrent indépendamment qu'une bouteille d'eau fermée par une tige métallique peut « emmagasiner » l'électricité produite par une machine à frottement. Musschenbroek, qui en reçoit la décharge, écrit qu'il ne recommencerait pas pour tout le royaume de France. La bouteille de Leyde est le premier condensateur.
• 1746 — À Versailles, l'abbé Nollet fait se tenir la main à 180 gardes du roi et décharge une bouteille de Leyde à travers la chaîne : tous sursautent au même instant. L'électricité devient un spectacle de cour.
• 1752 — Benjamin Franklin montre, avec son cerf-volant, que la foudre est de même nature que l'étincelle d'une bouteille de Leyde : le nuage et le sol forment un condensateur.
• 1837 — Michael Faraday montre que la charge stockée dépend de l'isolant placé entre les armatures. L'unité de capacité, le farad, porte son nom.
• Années 1950 à aujourd'hui — Les condensateurs électrochimiques, puis les supercondensateurs à électrodes poreuses, atteignent des milliers de farads : ils équipent aujourd'hui des bus électriques qui se rechargent en quelques secondes à chaque arrêt.

Une bouteille d'eau qui donnait des chocs est devenue, deux siècles et demi plus tard, un composant présent par milliards dans chaque téléphone.

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Erreurs fréquentes à anticiper

• Écrire $i = \dfrac{q}{t}$ en régime variable : c'est $i = \dfrac{dq}{dt}$.
• Croire que le courant traverse le condensateur : il ne traverse pas l'isolant, les charges s'accumulent sur les armatures.
• Oublier la convention récepteur et se tromper de signe dans la loi des mailles.
• Confondre le temps caractéristique τ et la durée de la charge, qui vaut environ 5τ.
• Lire 63 % sur une courbe de décharge : c'est 37 % pour la décharge.
• Oublier de convertir les µF et les kΩ avant de calculer τ = RC.
• Croire que u(C) peut subir un saut à la fermeture de l'interrupteur : c'est i qui est discontinue, jamais u(C).
• Oublier la condition initiale : sans elle, la constante K reste indéterminée.
• Lire −1/τ sur la droite ln(u(C)) = f(t) et oublier d'en prendre l'opposé de l'inverse.
• Penser qu'un écran tactile détecte la pression du doigt : il détecte la modification du champ électrique.