Transferts thermiques

Thème du programme : L'énergie : conversions et transferts — Effectuer des bilans d'énergie sur un système : transferts thermiques Niveau : Terminale, enseignement de spécialité physique-chimie Place dans la progression : au chapitre 19, tu as appris à faire le bilan d'énergie d'un système : $\Delta U = W + Q$. Mais comment l'énergie passe-t-elle d'un corps chaud à un corps froid ? À quelle vitesse une maison perd-elle sa chaleur en hiver ? Pourquoi la Terre a-t-elle une température moyenne de 15 °C et pas de −18 °C ? Et pourquoi un café refroidit-il vite au début, puis de plus en plus lentement ? Ce chapitre répond à ces quatre questions.

Prérequis : premier principe, $\Delta U = m c \Delta T$, sens d'un transfert thermique (chapitre 19) ; ondes électromagnétiques et spectre (Première) ; puissance et énergie, $E = P \times \Delta t$ ; fonction exponentielle et dérivée (mathématiques).

Dans ce chapitre, essaie de répondre aux questions posées avant de lire la suite : c'est en formulant ta propre hypothèse, même fausse, que tu retiens le mieux l'explication qui suit.

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Paragraphe 1 — Les trois modes de transfert thermique

🤔 À toi de jouer. Assis devant un feu de camp, tu as chaud au visage. Pourtant, l'air entre toi et le feu n'est pas brûlant, et tu ne touches rien. Comment l'énergie du feu arrive-t-elle jusqu'à toi ?

Un transfert thermique se fait toujours du chaud vers le froid (chapitre 19). Mais il peut emprunter trois chemins différents.

Conduction. Transfert d'énergie de proche en proche, sans déplacement de matière : les entités les plus agitées communiquent leur agitation à leurs voisines par des chocs. C'est le mode principal dans les solides. Exemple : le manche d'une cuillère plongée dans un thé chaud finit par chauffer.

Convection. Transfert d'énergie par déplacement de matière dans un fluide (liquide ou gaz) : le fluide chaud, moins dense, monte ; le fluide froid descend (convection naturelle), ou bien un ventilateur, une pompe, le vent brassent le fluide (convection forcée). Exemples : l'eau d'une casserole chauffée par le fond, l'air chauffé par un radiateur.

Rayonnement. Transfert d'énergie par ondes électromagnétiques, sans support matériel : il se propage même dans le vide. Tout corps émet un rayonnement, d'autant plus intense qu'il est chaud ; à température ambiante, c'est de l'infrarouge, invisible. Exemples : le Soleil qui chauffe la Terre, le feu de camp.

Les isolants sont des matériaux qui gênent la conduction : l'air immobile en est un excellent. C'est pourquoi les laines minérales, les plumes ou le polystyrène expansé, qui emprisonnent de l'air, isolent si bien.

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Paragraphe 2 — Flux thermique et résistance thermique

2.1 Le flux thermique

Pour comparer des transferts qui durent plus ou moins longtemps, on s'intéresse à l'énergie transférée par seconde.

Définition — Flux thermique Φ. Énergie transférée par transfert thermique à travers une surface, par unité de temps : $\Phi = \frac{Q}{\Delta t}$ Φ s'exprime en watts (W), Q en joules et Δt en secondes. C'est une puissance.

2.2 La résistance thermique

🤔 À toi de jouer. En hiver, une maison perd plus d'énergie par un mur en béton nu que par le même mur doublé de laine de verre. De quoi dépend, selon toi, le flux thermique qui traverse un mur ?

Pour une paroi dont les deux faces sont maintenues aux températures $T_1$ (côté chaud) et $T_2$ (côté froid), le flux thermique qui la traverse, du chaud vers le froid, vérifie :

Relation fondamentale. $\boxed{\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R_{th}}}$ $R_{th}$ est la résistance thermique de la paroi, en K·W⁻¹. Plus elle est grande, plus la paroi s'oppose au transfert thermique : c'est une paroi isolante.

Pour une paroi plane d'épaisseur $e$ et de surface $S$, la résistance thermique de conduction est (expression donnée) : $R_{th} = \frac{e}{\lambda \, S}$ où $\lambda$ est la conductivité thermique du matériau, en W·m⁻¹·K⁻¹.

Analogie électrique. La relation $\Phi = \dfrac{T_1 - T_2}{R_{th}}$ ressemble à la loi d'Ohm $I = \dfrac{U}{R}$ : l'écart de température joue le rôle de la tension, le flux celui de l'intensité. Et comme en électricité, les résistances thermiques de couches successives s'ajoutent (association en série) : $R_{totale} = R_1 + R_2 + \dots$

2.3 Exemple : isoler un mur

Un mur en béton de 20 cm d'épaisseur et de 12 m² sépare une pièce à 19 °C de l'extérieur à 4 °C.

• $R_{béton} = \dfrac{0{,}20}{1{,}75 \times 12} = 9{,}5 \times 10^{-3}$ K·W⁻¹, d'où $\Phi = \dfrac{19 - 4}{9{,}5 \times 10^{-3}} \approx 1{,}6 \times 10^{3}$ W.
• Avec 12 cm de laine de verre en plus : $R_{laine} = \dfrac{0{,}12}{0{,}04 \times 12} = 0{,}25$ K·W⁻¹, $R_{totale} = 0{,}26$ K·W⁻¹, d'où $\Phi \approx 58$ W.

Le flux est divisé par plus de 25 : c'est tout l'intérêt de l'isolation.

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Paragraphe 3 — Le bilan thermique de la Terre et l'effet de serre

3.1 Tout corps rayonne : la loi de Stefan-Boltzmann

Loi de Stefan-Boltzmann (donnée). Un corps idéal (appelé « corps noir ») de température absolue $T$ rayonne, par unité de surface, une puissance $p = \sigma \, T^4 \quad \text{avec} \quad \sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\ \text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-4}$ $p$ en W·m⁻² et $T$ en kelvins.

La puissance rayonnée augmente très vite avec la température : doubler la température absolue multiplie la puissance rayonnée par $2^4 = 16$.

3.2 La Terre sans atmosphère

La Terre reçoit en permanence le rayonnement du Soleil et émet elle-même un rayonnement infrarouge vers l'espace. Sa température moyenne est stable : elle est en équilibre radiatif. La puissance qu'elle absorbe est égale à la puissance qu'elle émet.

• Au-dessus de l'atmosphère, le Soleil apporte $S_0 = 1\,361$ W par m² de surface perpendiculaire aux rayons (la constante solaire).
• La Terre intercepte ce rayonnement sur un disque de surface $\pi R^2$, mais émet par toute sa sphère, de surface $4 \pi R^2$ : en moyenne, chaque m² de la surface terrestre reçoit $\dfrac{S_0}{4} \approx 340$ W.
• Environ 30 % de ce rayonnement est directement réfléchi vers l'espace par les nuages, la glace, les déserts : c'est l'albédo, $A \approx 0{,}30$.

Bilan d'énergie à l'équilibre, par m² : $(1 - A)\,\dfrac{S_0}{4} = \sigma\,T^4$, d'où $T = \left(\frac{(1 - A)\,S_0}{4\,\sigma}\right)^{1/4} = \left(\frac{0{,}70 \times 1\,361}{4 \times 5{,}67 \times 10^{-8}}\right)^{1/4} \approx 255\ \text{K} \approx -18\ \text{°C}$

Or la température moyenne mesurée à la surface de la Terre est d'environ 15 °C (288 K). Il manque plus de 30 °C : ce modèle oublie l'atmosphère.

3.3 L'effet de serre

🤔 À toi de jouer. Pourquoi les nuits sont-elles beaucoup plus froides dans le désert, par ciel dégagé, que par une nuit nuageuse ?

L'atmosphère est presque transparente au rayonnement visible du Soleil, mais elle absorbe une grande partie du rayonnement infrarouge émis par le sol. Les gaz responsables sont appelés gaz à effet de serre : vapeur d'eau (H₂O), dioxyde de carbone (CO₂), méthane (CH₄)…

Ayant absorbé ce rayonnement, l'atmosphère rayonne à son tour, dans toutes les directions, et notamment vers le sol. Le sol reçoit donc à la fois le rayonnement du Soleil et celui de l'atmosphère : pour rester à l'équilibre, il doit émettre davantage, donc être plus chaud. C'est l'effet de serre.

Retenir. L'effet de serre naturel est indispensable à la vie : sans lui, la Terre serait gelée (−18 °C en moyenne). Le problème actuel est son renforcement par les activités humaines : la concentration en CO₂ de l'atmosphère est passée d'environ 280 ppm avant l'ère industrielle à plus de 420 ppm aujourd'hui, et la température moyenne a déjà augmenté de plus de 1 °C.

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Paragraphe 4 — Refroidissement et réchauffement : la loi de Newton

4.1 La loi phénoménologique de Newton

🤔 À toi de jouer. Un café à 80 °C est posé dans une pièce à 20 °C. Perd-il sa chaleur au même rythme quand il est à 80 °C et quand il est à 30 °C ?

Un système de température $T$ placé dans un milieu extérieur de température constante $T_{ext}$ (un thermostat : l'air d'une pièce, l'eau d'un grand bain…) échange avec lui un transfert thermique, par conduction et convection à sa surface.

Loi de Newton (donnée). Le flux thermique reçu par le système est proportionnel à l'écart de température : $\Phi = h\,S\,(T_{ext} - T)$ $S$ : surface d'échange (m²) ; $h$ : coefficient de transfert thermique (W·m⁻²·K⁻¹), qui dépend du fluide et de son mouvement (grand si l'air est brassé, faible s'il est calme).

Vérifie les signes : si le système est plus chaud que l'extérieur ($T > T_{ext}$), $\Phi < 0$ : il cède de l'énergie, conformément au sens du transfert thermique.

4.2 L'équation différentielle

Appliquons le premier principe au système, incompressible, de capacité thermique $C$, entre les dates $t$ et $t + dt$ :

• il ne reçoit pas de travail ;
• il reçoit le transfert thermique $\delta Q = \Phi\,dt = h S (T_{ext} - T)\,dt$ ;
• sa variation d'énergie interne est $dU = C\,dT$.

$C\,dT = h\,S\,(T_{ext} - T)\,dt \quad \Longrightarrow \quad \frac{dT}{dt} = \frac{h S}{C}\,(T_{ext} - T)$

En posant $\tau = \dfrac{C}{h S}$, on obtient l'équation différentielle linéaire du premier ordre : $\boxed{\frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau}\,T = \frac{T_{ext}}{\tau}}$

$\tau$ est le temps caractéristique du système (en secondes). Il est grand pour un système de grande capacité thermique, ou mal relié à l'extérieur (petite surface, faible $h$).

4.3 La solution

Méthode — Résoudre $y' + \dfrac{1}{\tau}\,y = \dfrac{b}{\tau}$ (b constante).

1. Solution particulière constante : si $y = K$ constante, $y' = 0$, donc $K = b$.
2. Solutions de l'équation sans second membre $y' + \dfrac{1}{\tau} y = 0$ : $y = A\,e^{-t/\tau}$, A constante.
3. Solution générale : $y(t) = b + A\,e^{-t/\tau}$.
4. Condition initiale : $y(0) = y_0$ donne $A = y_0 - b$.

Avec $T(0) = T_0$ : $\boxed{T(t) = T_{ext} + (T_0 - T_{ext})\,e^{-t/\tau}}$

La température tend vers $T_{ext}$ : c'est l'équilibre thermique. Plus l'écart est grand, plus l'évolution est rapide ; c'est pourquoi le café refroidit vite au début, puis de plus en plus lentement.

Lire τ sur une courbe.

• À $t = \tau$, l'écart initial $T_0 - T_{ext}$ a été réduit de 63 % (il n'en reste que $e^{-1} \approx 37\,\%$).
• La tangente à l'origine coupe l'asymptote $T = T_{ext}$ à la date $t = \tau$.
• Au bout de $5\tau$, il reste moins de 1 % de l'écart initial : l'équilibre est pratiquement atteint.

4.4 Tester le modèle avec des mesures

Pour vérifier qu'une série de mesures suit la loi de Newton, on trace $\ln\left(\left|T - T_{ext}\right|\right)$ en fonction de $t$ : on doit obtenir une droite de coefficient directeur $-\dfrac{1}{\tau}$, puisque $\ln|T - T_{ext}| = \ln|T_0 - T_{ext}| - \dfrac{t}{\tau}$.

import numpy as np

T_ext = 20.0                                   # °C
t = np.array([0, 300, 600, 900, 1200, 1800])   # s
T = np.array([80.0, 71.6, 64.4, 58.3, 52.9, 44.4])   # °C (mesures)

y = np.log(T - T_ext)
pente, ordonnee = np.polyfit(t, y, 1)
tau = -1 / pente
print("tau =", round(tau), "s")               # environ 2000 s

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Repère historique : de la loi de Newton au climat

• 1701 — Isaac Newton publie, sans la signer, une échelle de températures dans laquelle il énonce que la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à l'écart de température avec l'air qui l'entoure : c'est la loi du paragraphe 4.
• 1822 — Joseph Fourier publie sa Théorie analytique de la chaleur, qui décrit mathématiquement la conduction. Deux ans plus tard, il remarque que la Terre est trop chaude pour la distance qui la sépare du Soleil, et suggère que l'atmosphère retient une partie de la chaleur, comme la vitre d'une boîte.
• 1856 — Eunice Foote, scientifique américaine, expose au Soleil des cylindres de verre remplis de différents gaz. Celui qui contient du dioxyde de carbone s'échauffe le plus : elle conclut qu'une atmosphère plus riche en CO₂ donnerait une Terre plus chaude.
• 1859 — John Tyndall, au Royaume-Uni, mesure précisément l'absorption du rayonnement infrarouge par la vapeur d'eau et le dioxyde de carbone.
• 1879-1884 — Josef Stefan, par l'expérience, puis Ludwig Boltzmann, par la théorie, établissent la loi en $T^4$ du paragraphe 3.
• 1896 — Svante Arrhenius, le chimiste suédois de la cinétique, calcule à la main qu'un doublement du CO₂ atmosphérique réchaufferait la Terre de plusieurs degrés.
• 1958 — Charles David Keeling commence à mesurer le CO₂ au sommet du volcan Mauna Loa, à Hawaï. Sa courbe, qui ne cesse de monter, est devenue le symbole du changement climatique.

Un peu plus d'un siècle sépare l'intuition de Fourier des premières mesures continues de Keeling : la physique du climat repose sur les mêmes lois que celles du refroidissement d'une tasse de café.

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Ce qu'il faut retenir

1. Trois modes de transfert thermique : conduction (de proche en proche, sans déplacement de matière), convection (déplacement de fluide), rayonnement (ondes électromagnétiques, même dans le vide).
2. Le flux thermique $\Phi = Q / \Delta t$ (en W) à travers une paroi vérifie $\Phi = \dfrac{T_1 - T_2}{R_{th}}$ ; la résistance thermique $R_{th}$ (en K·W⁻¹) vaut $\dfrac{e}{\lambda S}$ pour une paroi plane ; les résistances de couches successives s'ajoutent.
3. Loi de Stefan-Boltzmann : $p = \sigma T^4$. À l'équilibre, la Terre émet autant qu'elle absorbe : $(1-A)\dfrac{S_0}{4} = \sigma T^4$, soit −18 °C sans atmosphère.
4. L'effet de serre : l'atmosphère absorbe l'infrarouge émis par le sol et en renvoie une partie vers lui ; il porte la température moyenne à +15 °C. Son renforcement par les gaz à effet de serre d'origine humaine réchauffe le climat.
5. Loi de Newton : $\Phi = h S (T_{ext} - T)$. Le premier principe donne $\dfrac{dT}{dt} + \dfrac{T}{\tau} = \dfrac{T_{ext}}{\tau}$ avec $\tau = \dfrac{C}{hS}$, d'où $T(t) = T_{ext} + (T_0 - T_{ext})\,e^{-t/\tau}$.