Mouvement dans un champ de gravitation

Thème du programme : Mouvement et interactions — Relier les actions appliquées à un système à son mouvement Niveau : Terminale, enseignement de spécialité physique-chimie Place dans la progression : au chapitre précédent, le champ était uniforme : même valeur, même direction partout. Autour d'une planète ou d'une étoile, ce n'est plus vrai : le champ de gravitation pointe toujours vers le centre de l'astre, et il faiblit avec la distance. Avec les mêmes outils (deuxième loi de Newton, repère de Frenet), on va comprendre pourquoi la Lune ne tombe pas sur la Terre, à quelle vitesse tourne un satellite, et comment Kepler avait deviné, avant Newton, les lois qui règlent le ballet des planètes.

Prérequis : repère de Frenet et mouvement circulaire, deuxième loi de Newton ; loi de la gravitation universelle (Seconde) ; puissances et racines.

Dans ce chapitre, essaie de répondre aux questions posées avant de lire la suite : c'est en formulant ta propre hypothèse, même fausse, que tu retiens le mieux l'explication qui suit.

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Paragraphe 1 — Le champ de gravitation d'un astre

1.1 La loi de la gravitation universelle

Loi de la gravitation universelle (Newton, 1687). Deux corps A et B, de masses $m_A$ et $m_B$, à répartition sphérique de masse, dont les centres sont distants de d, exercent l'un sur l'autre des forces attractives, dirigées selon la droite qui joint leurs centres, de même valeur : $F = G\,\frac{m_A\,m_B}{d^2}$ avec $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻², la constante de gravitation universelle.

1.2 Le champ de gravitation newtonien

Un astre de masse M crée autour de lui un champ de gravitation $\vec{\mathcal{G}}$ : un objet de masse m placé à la distance r de son centre subit la force $\vec{F} = m\,\vec{\mathcal{G}}$, avec $\mathcal{G} = \frac{G\,M}{r^2}$ Ce champ est dirigé vers le centre de l'astre et sa valeur décroît comme $1/r^2$ : on dit qu'il est newtonien. Il n'est pas uniforme : sa direction change d'un point à l'autre.

Exemple. À la surface de la Terre ($M_T = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, $R_T = 6\,371$ km) : $\mathcal{G} = \dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{(6{,}371 \times 10^6)^2} \approx 9{,}8$ N·kg⁻¹. On retrouve g : au sol, le poids est (presque entièrement) la force de gravitation de la Terre. À l'altitude de la Station spatiale (408 km), le champ vaut encore 8,7 N·kg⁻¹, soit 88 % de sa valeur au sol.

1.3 Les référentiels adaptés

• Pour étudier un satellite de la Terre (naturel ou artificiel) : le référentiel géocentrique, centré sur la Terre, aux axes pointés vers des étoiles lointaines.
• Pour étudier une planète ou une comète : le référentiel héliocentrique, centré sur le Soleil.

Sur la durée d'une orbite, ces référentiels peuvent être considérés comme galiléens.

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Paragraphe 2 — Le mouvement circulaire d'un satellite

🤔 À toi de jouer. La Lune est attirée par la Terre. Pourquoi ne tombe-t-elle pas sur nous ?

2.1 L'accélération

Système : un satellite de masse m, en orbite circulaire de rayon r autour d'un astre de masse M (pour un satellite de la Terre, $r = R_T + h$, où h est l'altitude). Référentiel : géocentrique (ou héliocentrique), supposé galiléen. Seule force : l'attraction gravitationnelle de l'astre, dirigée vers son centre.

Dans le repère de Frenet $(S\,;\vec{u}_t,\vec{u}_n)$, avec $\vec{u}_n$ dirigé vers le centre de l'astre : $m\,\vec{a} = \frac{G\,M\,m}{r^2}\,\vec{u}_n \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\vec{a} = \frac{G\,M}{r^2}\,\vec{u}_n}$ L'accélération est centripète et ne dépend pas de la masse du satellite.

2.2 Le mouvement est uniforme

On identifie avec l'expression de l'accélération dans le repère de Frenet, $\vec{a} = \dfrac{dv}{dt}\,\vec{u}_t + \dfrac{v^2}{r}\,\vec{u}_n$ :

• selon $\vec{u}_t$ : $\dfrac{dv}{dt} = 0$, la valeur de la vitesse est constante : le mouvement est circulaire uniforme ;
• selon $\vec{u}_n$ : $\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{G\,M}{r^2}$, d'où

$\boxed{v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}}$

Le vecteur vitesse est tangent à l'orbite ; sa valeur ne dépend que de la masse de l'astre et du rayon de l'orbite. Plus l'orbite est haute, plus le satellite est lent.

Réponse à la question : la Lune tombe en permanence vers la Terre (son accélération est dirigée vers nous) ; mais elle va si vite latéralement qu'elle « rate » sans cesse la Terre. Tomber tout en avançant, c'est exactement cela, une orbite.

2.3 La période de révolution

Définition — Période de révolution. Durée T d'un tour complet de l'orbite.

Le satellite parcourt la circonférence $2\pi r$ à la vitesse constante v : $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M}}$

Exemple — La Station spatiale internationale. $r = 6\,371 + 408 = 6\,779$ km. $v = \sqrt{\dfrac{3{,}98 \times 10^{14}}{6{,}779 \times 10^6}} \approx 7{,}66 \times 10^3$ m·s⁻¹, soit près de 28 000 km/h ; $T = \dfrac{2\pi \times 6{,}779 \times 10^6}{7{,}66 \times 10^3} \approx 5{,}56 \times 10^3$ s, environ 1 h 33 min. Les astronautes voient seize levers de Soleil par jour.

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Paragraphe 3 — Les lois de Kepler

Entre 1609 et 1619, Johannes Kepler, en analysant les mesures très précises de Tycho Brahe sur la planète Mars, énonce trois lois empiriques. Elles valent pour les planètes autour du Soleil, et pour tout corps en orbite autour d'un astre.

3.1 Première loi : la loi des orbites

1ʳᵉ loi de Kepler. Dans le référentiel héliocentrique, l'orbite de chaque planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Une ellipse est caractérisée par son demi-grand axe a et par son excentricité e (entre 0 et 1). Le point le plus proche du Soleil est le périhélie, le plus éloigné l'aphélie. Le cercle est le cas particulier d'une ellipse dont les deux foyers sont confondus au centre ($e = 0$) : son demi-grand axe est alors le rayon. Les orbites des planètes sont presque circulaires (e = 0,017 pour la Terre) ; celles des comètes sont très allongées.

3.2 Deuxième loi : la loi des aires

2ᵉ loi de Kepler. Le segment qui relie le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Conséquence : la planète va plus vite près du Soleil (au périhélie) que loin de lui (à l'aphélie). Pour une orbite circulaire, la loi des aires impose un mouvement uniforme, ce que confirme le § 2.2.

3.3 Troisième loi : la loi des périodes

3ᵉ loi de Kepler. Pour toutes les planètes qui tournent autour du Soleil, le rapport du carré de la période de révolution au cube du demi-grand axe est le même : $\frac{T^2}{a^3} = \text{constante}$

Démonstration dans le cas circulaire ($a = r$). D'après le § 2.3, $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}$. En élevant au carré : $T^2 = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,M} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G\,M}}$ La constante ne dépend que de la masse de l'astre central : elle est la même pour toutes les planètes du Soleil, la même (mais différente) pour tous les satellites de la Terre, la même pour tous les satellites de Jupiter.

Exploiter la 3ᵉ loi : « peser » un astre. Il suffit de connaître la période et le rayon de l'orbite d'un de ses satellites : $M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$. Pour le Soleil, avec l'orbite de la Terre (r = 1,496 × 10¹¹ m, T = 365,25 jours = 3,156 × 10⁷ s) : $M_S = \dfrac{4\pi^2 \times (1{,}496 \times 10^{11})^3}{6{,}67 \times 10^{-11} \times (3{,}156 \times 10^7)^2} \approx 2{,}0 \times 10^{30}$ kg.

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Paragraphe 4 — Le satellite géostationnaire

Définition — Satellite géostationnaire. Satellite qui reste immobile par rapport au sol : vu depuis la Terre, il occupe toujours la même position dans le ciel.

Pour cela, il doit, dans le référentiel géocentrique :

• avoir une orbite circulaire (vitesse constante) ;
• tourner dans le plan de l'équateur (sinon, il oscillerait du nord au sud) ;
• tourner dans le même sens que la Terre ;
• avoir une période égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même, le jour sidéral : T = 23 h 56 min 4 s = 86 164 s.

La 3ᵉ loi de Kepler donne alors son rayon, et donc son altitude, qui est unique : $r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3{,}98 \times 10^{14} \times 86\,164^2}{4\pi^2}} \approx 4{,}22 \times 10^7 \text{ m}$ soit une altitude $h = r - R_T \approx 35\,800$ km.

Tous les satellites géostationnaires sont donc sur le même cercle, au-dessus de l'équateur : c'est une ressource limitée, attribuée par une organisation internationale. On les utilise pour les télécommunications (une antenne fixe suffit pour les capter) et la météorologie (les satellites Meteosat surveillent en permanence l'Europe et l'Afrique).

Attention. Les satellites GPS ne sont pas géostationnaires : ils tournent à 20 200 km d'altitude, en 11 h 58 min, sur des orbites inclinées. Il en faut une trentaine pour qu'au moins quatre soient visibles en tout point du globe.

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Paragraphe 5 — Capacité numérique : tester les lois de Kepler

5.1 Tester la troisième loi

On dispose des demi-grands axes (en unités astronomiques, 1 UA = 1,496 × 10¹¹ m) et des périodes (en années) des planètes. On calcule $T^2/a^3$, et on trace $T^2$ en fonction de $a^3$ :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

noms = ["Mercure", "Vénus", "Terre", "Mars", "Jupiter", "Saturne"]
a = np.array([0.387, 0.723, 1.000, 1.524, 5.203, 9.537])   # demi-grand axe (UA)
T = np.array([0.241, 0.615, 1.000, 1.881, 11.86, 29.46])   # période (années)

print(T**2 / a**3)                       # toutes les valeurs sont proches de 1

coef = np.polyfit(a**3, T**2, 1)         # modélisation par une droite
print("pente :", coef[0], "ordonnée à l'origine :", coef[1])

plt.plot(a**3, T**2, "o")
plt.xlabel("a³ (UA³)")
plt.ylabel("T² (an²)")
plt.show()

Les points sont alignés sur une droite passant par l'origine, de pente 1 an²/UA³ : la 3ᵉ loi est vérifiée. Avec des unités SI, la pente vaudrait $\dfrac{4\pi^2}{G M_S}$, ce qui donne la masse du Soleil.

5.2 Tester la deuxième loi

Avec les positions d'une planète relevées à intervalles de temps égaux, on calcule l'aire du triangle formé par le Soleil (à l'origine) et deux positions successives $M_i(x_i, y_i)$ et $M_{i+1}$ : $\mathcal{A}_i = \dfrac{1}{2}\,|x_i\,y_{i+1} - x_{i+1}\,y_i|$. Si les aires sont égales, la 2ᵉ loi est vérifiée. C'est l'objet de l'exercice 10.

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Repère historique : du ciel parfait aux lois de Newton

• IIᵉ siècle — Claude Ptolémée, à Alexandrie, place la Terre au centre de l'Univers ; les astres tournent sur des cercles combinés entre eux. Ce modèle servira pendant quatorze siècles.
• 1543 — Nicolas Copernic publie un modèle héliocentrique : les planètes, dont la Terre, tournent autour du Soleil. Mais il garde des orbites circulaires, qui ne collent pas parfaitement aux observations.
• 1576-1597 — Tycho Brahe, au Danemark, mesure la position des planètes avec une précision inégalée à l'œil nu, dans son observatoire d'Uraniborg.
• 1609 et 1619 — Johannes Kepler, son assistant, s'acharne sur l'orbite de Mars : un écart de 8 minutes d'arc lui fait abandonner le cercle. Il publie ses deux premières lois en 1609, la troisième en 1619.
• 1687 — Isaac Newton montre que les trois lois de Kepler découlent de la gravitation universelle et de sa deuxième loi. Il compare la chute d'une pomme et l'accélération de la Lune, 3 600 fois plus faible : la Lune est 60 fois plus loin du centre de la Terre, et $60^2 = 3\,600$.
• 1798 — Henry Cavendish mesure en laboratoire l'attraction entre des boules de plomb ; on en déduit G, puis la masse de la Terre.
• 1846 — Urbain Le Verrier calcule, à partir des irrégularités de l'orbite d'Uranus, la position d'une planète inconnue. Neptune est observée le mois suivant, à moins d'un degré de l'endroit prévu.
• 1957 — Spoutnik 1, premier satellite artificiel, est lancé par l'URSS. En 1964, Syncom 3 devient le premier satellite géostationnaire, une idée proposée dès 1945 par l'écrivain Arthur C. Clarke.

Kepler avait trouvé les lois en regardant le ciel ; Newton a trouvé pourquoi le ciel leur obéit.

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Ce qu'il faut retenir

1. Un astre de masse M crée un champ de gravitation dirigé vers son centre, de valeur $\mathcal{G} = \dfrac{G M}{r^2}$.
2. Satellite en orbite circulaire : $\vec{a} = \dfrac{G M}{r^2}\,\vec{u}_n$, centripète ; le mouvement est uniforme ; $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}$.
3. Période : $T = \dfrac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}$. Ni v ni T ne dépendent de la masse du satellite.
4. Lois de Kepler : orbites elliptiques (Soleil à un foyer) ; aires égales en des durées égales ; $\dfrac{T^2}{a^3}$ constant.
5. Cas circulaire : $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G M}$ ; cette relation permet de « peser » l'astre central.
6. Satellite géostationnaire : orbite circulaire équatoriale, même sens que la Terre, T = 23 h 56 min ; altitude unique ≈ 35 800 km.