Mouvement dans un champ uniforme

Thème du programme : Mouvement et interactions — Relier les actions appliquées à un système à son mouvement Niveau : Terminale, enseignement de spécialité physique-chimie Place dans la progression : le chapitre sur la deuxième loi de Newton t'a appris à passer des forces à l'accélération. Ici, on va jusqu'au bout du calcul : à partir de l'accélération, on retrouve la vitesse, puis la position à chaque instant, puis la forme de la trajectoire. On le fait dans deux situations où l'accélération est constante : un objet lancé dans le champ de pesanteur, et une particule chargée entre les plaques d'un condensateur. Les mêmes équations décrivent un ballon de basket et un électron dans un accélérateur.

Prérequis : vecteurs vitesse et accélération, deuxième loi de Newton (chapitre précédent) ; énergie cinétique, énergie potentielle de pesanteur, travail d'une force, théorème de l'énergie cinétique (Première) ; force électrique et champ électrique (Première) ; primitive d'une fonction (mathématiques).

Dans ce chapitre, essaie de répondre aux questions posées avant de lire la suite : c'est en formulant ta propre hypothèse, même fausse, que tu retiens le mieux l'explication qui suit.

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Paragraphe 1 — Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme

1.1 Qu'est-ce qu'un champ uniforme ?

Définition — Champ uniforme. Un champ est uniforme dans une région de l'espace s'il a la même direction, le même sens et la même valeur en tout point de cette région.

• Le champ de pesanteur $\vec{g}$ est uniforme à l'échelle d'un stade ou d'un laboratoire : il est vertical, vers le bas, de valeur $g \approx 9{,}81$ N·kg⁻¹ (ou m·s⁻²). Il ne l'est plus à l'échelle de la Terre, puisqu'il pointe toujours vers son centre.
• Le champ électrique entre les deux plaques d'un condensateur plan est uniforme (paragraphe 2).

1.2 L'accélération : une conséquence directe de la deuxième loi de Newton

On étudie un projectile (un ballon, une balle, un boulet) de masse m, de centre de masse G, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On néglige l'action de l'air : la seule force est le poids $\vec{P} = m\,\vec{g}$.

$\sum \vec{F}_{ext} = m\,\vec{a}_G \quad \Longrightarrow \quad m\,\vec{g} = m\,\vec{a}_G \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\vec{a}_G = \vec{g}}$

L'accélération est constante et ne dépend pas de la masse : une bille d'acier et une balle de ping-pong, lancées de la même façon, suivent la même trajectoire, tant que l'air est négligeable.

1.3 Des équations horaires par primitives successives

🤔 À toi de jouer. Du haut d'une table, on laisse tomber une bille et, au même instant, on en lance une autre horizontalement. Laquelle touche le sol en premier ?

Le repère. On choisit un repère $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ avec l'axe $Oy$ vertical vers le haut et l'axe $Ox$ horizontal, de sorte que le vecteur vitesse initiale $\vec{v}_0$ soit dans le plan $(Oxy)$, faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale. À $t = 0$, G est en O.

Étape 1 — L'accélération. $\vec{a} = \vec{g}$ a pour coordonnées $a_x = 0$, $a_y = -g$, $a_z = 0$.

Étape 2 — La vitesse. $\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}$ : chaque coordonnée de $\vec{v}$ est une primitive de celle de $\vec{a}$. Les constantes d'intégration sont fixées par la vitesse initiale $\vec{v}_0$, de coordonnées $(v_0\cos\alpha\,;\;v_0\sin\alpha\,;\;0)$ : $v_x(t) = v_0\cos\alpha \qquad v_y(t) = -g\,t + v_0\sin\alpha \qquad v_z(t) = 0$

Étape 3 — La position. $\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}$ : on prend encore une primitive, et les constantes sont fixées par la position initiale (G en O) : $\boxed{x(t) = v_0\cos\alpha \cdot t \qquad y(t) = -\frac{1}{2}\,g\,t^2 + v_0\sin\alpha \cdot t \qquad z(t) = 0}$

Ce sont les équations horaires du mouvement. Horizontalement, le mouvement est uniforme (rien ne freine ni ne pousse dans cette direction) ; verticalement, il est uniformément accéléré, exactement comme une chute libre.

Réponse à la question : les deux billes ont la même équation $y(t)$, puisque leur vitesse initiale verticale est nulle dans les deux cas. Elles touchent le sol en même temps ; celle qui a été lancée arrive simplement plus loin.

Méthode — Établir les équations horaires.

1. Système, référentiel galiléen, bilan des forces.
2. Deuxième loi de Newton : coordonnées de $\vec{a}$.
3. Primitive → coordonnées de $\vec{v}$ ; constantes fixées par $\vec{v}_0$.
4. Primitive → coordonnées de $\overrightarrow{OG}$ ; constantes fixées par la position initiale.
5. Toujours vérifier : à $t = 0$, retrouve-t-on bien la position et la vitesse initiales ?

1.4 Le mouvement est plan

Pour tout $t$, $z(t) = 0$ : le centre de masse reste dans le plan $(Oxy)$, c'est-à-dire le plan vertical qui contient le vecteur vitesse initiale. Aucune force n'a de composante hors de ce plan, et la vitesse initiale n'en a pas non plus : il n'y a aucune raison de le quitter.

1.5 L'équation de la trajectoire

Les équations horaires donnent x et y en fonction de t. Pour obtenir la forme de la trajectoire, on élimine le temps : $t = \dfrac{x}{v_0\cos\alpha}$, que l'on reporte dans $y(t)$ : $\boxed{y = -\frac{g}{2\,v_0^2\cos^2\alpha}\,x^2 + \tan\alpha \cdot x}$ C'est l'équation d'une parabole, tournée vers le bas (le coefficient de $x^2$ est négatif). Seul cas particulier : un tir vertical ($\alpha = 90°$), pour lequel le mouvement est rectiligne.

1.6 Flèche et portée

• La flèche $h$ est l'altitude maximale. Au sommet S, la vitesse est horizontale : $v_y = 0$, soit $t_S = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g}$, et $h = y(t_S) = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2\,g}$
• La portée est la distance horizontale parcourue quand le projectile revient à l'altitude de départ ($y = 0$, $x \neq 0$) : $x_P = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$ Elle est maximale pour $\alpha = 45°$, et deux angles complémentaires (30° et 60°, par exemple) donnent la même portée.

Exemple. Un ballon est lancé depuis le sol à $v_0 = 10$ m·s⁻¹, avec $\alpha = 45°$. Flèche : $h = \dfrac{10^2 \times 0{,}5}{2 \times 9{,}81} \approx 2{,}5$ m. Portée : $x_P = \dfrac{10^2 \times 1}{9{,}81} \approx 10{,}2$ m.

Attention — Les limites du modèle. Pour une bille d'acier lancée à quelques mètres par seconde, l'action de l'air est négligeable. Pour un ballon de football, une balle de golf ou un volant de badminton, elle ne l'est pas : la trajectoire réelle est plus courte et n'est plus symétrique. C'est pourquoi un lanceur de javelot vise plutôt 35° que 45°.

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Paragraphe 2 — Le champ électrique créé par un condensateur plan

2.1 Le condensateur plan

Un condensateur plan est formé de deux plaques conductrices (les armatures), parallèles, séparées d'une distance d. Quand on applique une tension U entre elles, l'une se charge positivement, l'autre négativement.

Champ électrique d'un condensateur plan. Entre les armatures, loin des bords, le champ électrique $\vec{E}$ est uniforme :

• direction : perpendiculaire aux armatures ;
• sens : de l'armature positive vers l'armature négative ;
• valeur : $\boxed{E = \frac{U}{d}}$ avec E en volts par mètre (V·m⁻¹), U en volts (V) et d en mètres (m).

2.2 Influence des grandeurs physiques

• E est proportionnel à la tension U : doubler la tension double le champ.
• E est inversement proportionnel à la distance d : rapprocher les armatures de moitié double le champ.
• E ne dépend pas de la surface des armatures, tant qu'on reste loin des bords.

Exemple. U = 200 V et d = 4,0 cm : $E = \dfrac{200}{4{,}0 \times 10^{-2}} = 5{,}0 \times 10^3$ V·m⁻¹.

On ne peut pas augmenter E indéfiniment : au-delà d'environ $3 \times 10^6$ V·m⁻¹, l'air devient conducteur et une étincelle jaillit entre les armatures (le claquage). C'est, en grand, ce qui se passe lors d'un éclair.

2.3 La force électrique

Une particule de charge q placée dans le champ $\vec{E}$ subit la force électrique $\vec{F} = q\,\vec{E}$ Elle est dans le sens de $\vec{E}$ si $q > 0$ (proton, ion positif) et de sens opposé si $q < 0$ (électron).

Pourquoi néglige-t-on le poids ? Pour un électron dans un champ de $5{,}0 \times 10^3$ V·m⁻¹ : $F = eE = 1{,}6 \times 10^{-19} \times 5{,}0 \times 10^3 = 8{,}0 \times 10^{-16}$ N, alors que son poids vaut $P = m g = 9{,}1 \times 10^{-31} \times 9{,}81 \approx 8{,}9 \times 10^{-30}$ N. La force électrique est environ $10^{14}$ fois plus grande : le poids est totalement négligeable.

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Paragraphe 3 — Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme

3.1 L'accélération

Système : la particule (masse m, charge q) ; référentiel du laboratoire, supposé galiléen ; seule force : $\vec{F} = q\vec{E}$ (poids négligé). $q\,\vec{E} = m\,\vec{a} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\vec{a} = \frac{q\,\vec{E}}{m}}$ L'accélération est constante. Tout ce qu'on a fait au paragraphe 1 s'applique donc, en remplaçant $\vec{g}$ par $\dfrac{q\vec{E}}{m}$. Deux cas sont à connaître.

3.2 Vitesse initiale parallèle au champ : la particule est accélérée

Si la particule part au repos, ou avec une vitesse colinéaire à $\vec{E}$, son mouvement est rectiligne uniformément accéléré (ou ralenti, selon le signe de q et le sens de $\vec{v}_0$). C'est le principe du canon à électrons : des électrons émis par un filament chauffé sont accélérés par une tension de quelques kilovolts entre deux électrodes.

3.3 Vitesse initiale perpendiculaire au champ : la particule est déviée

🤔 À toi de jouer. Un électron entre horizontalement, à mi-hauteur, entre deux armatures horizontales : l'armature du haut est positive. Vers où est-il dévié ? Quelle forme a sa trajectoire ?

Repère : $Ox$ selon $\vec{v}_0$, $Oy$ perpendiculaire aux armatures, vers l'armature positive ; l'électron entre en O à $t = 0$. Le champ est dirigé vers le bas : $\vec{E} = -E\,\vec{j}$. Pour l'électron ($q = -e$) : $a_x = 0 \qquad a_y = \frac{(-e)(-E)}{m} = \frac{eE}{m} > 0$

Deux primitives successives, avec $\vec{v}_0 = v_0\,\vec{i}$ et G en O à $t = 0$ : $x(t) = v_0\,t \qquad y(t) = \frac{eE}{2m}\,t^2$ Et en éliminant le temps : $\boxed{y = \frac{eE}{2\,m\,v_0^2}\,x^2}$

L'électron décrit un arc de parabole tourné vers l'armature positive. À la sortie des armatures (longueur L), sa déviation vaut $y_S = \dfrac{eE L^2}{2 m v_0^2}$. Ensuite, plus aucune force ne s'exerce : son mouvement devient rectiligne uniforme.

Exemple. Un électron entre à $v_0 = 2{,}0 \times 10^7$ m·s⁻¹ dans un champ $E = 5{,}0 \times 10^3$ V·m⁻¹, entre des armatures de longueur L = 10 cm. Durée de la traversée : $t = L / v_0 = 5{,}0 \times 10^{-9}$ s. Déviation en sortie : $y_S = \dfrac{1{,}6 \times 10^{-19} \times 5{,}0 \times 10^3 \times (0{,}10)^2}{2 \times 9{,}1 \times 10^{-31} \times (2{,}0 \times 10^7)^2} \approx 1{,}1 \times 10^{-2}$ m, soit 1,1 cm.

Des applications.

• Dans les anciens oscilloscopes et téléviseurs à tube cathodique, deux paires de plaques déviaient le faisceau d'électrons pour dessiner l'image sur l'écran.
• Dans certaines imprimantes à jet d'encre, des gouttelettes chargées sont déviées par un champ électrique pour atteindre le bon point de la feuille.
• En spectrométrie de masse, la déviation dépend de $q/m$ : elle permet de trier les ions selon leur masse.

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Paragraphe 4 — L'accélérateur linéaire de particules

4.1 Pourquoi plusieurs étages ?

Une particule de charge q qui passe d'une armature à l'autre gagne l'énergie cinétique $|q|\,U$ (paragraphe 5). Pour atteindre de très grandes énergies, il faudrait des tensions énormes, impossibles à maintenir sans claquage. L'idée de l'accélérateur linéaire est de répéter une accélération modeste un grand nombre de fois.

Définition — Électronvolt. L'électronvolt (eV) est l'énergie gagnée par une particule de charge $e$ accélérée par une tension de 1 V : $1 \text{ eV} = 1{,}602 \times 10^{-19}$ J. On utilise couramment le keV, le MeV ($10^6$ eV) et le GeV ($10^9$ eV).

4.2 Le principe

Les particules traversent une série de tubes conducteurs alignés (les tubes de glissement), reliés alternativement aux deux bornes d'une tension alternative.

• À l'intérieur d'un tube, le champ électrique est nul : la particule a un mouvement rectiligne uniforme.
• Entre deux tubes, il règne un champ électrique qui accélère la particule : elle gagne $|q|\,U$ à chaque intervalle.
• Pendant qu'elle traverse un tube, la tension s'inverse, si bien que le champ est toujours dans le bon sens quand elle arrive dans l'intervalle suivant.
• La particule va de plus en plus vite, mais chaque traversée doit durer une demi-période de la tension : les tubes sont donc de plus en plus longs.

Après N intervalles, l'énergie cinétique gagnée vaut $N\,|q|\,U$.

Aujourd'hui. Les hôpitaux utilisent de petits accélérateurs linéaires d'électrons (quelques mètres, quelques MeV à une vingtaine de MeV) pour la radiothérapie des cancers. Au CERN, le Linac4 est le premier maillon de la chaîne qui alimente le LHC : il accélère des ions hydrogène jusqu'à 160 MeV. Quand la vitesse approche celle de la lumière, la mécanique de Newton ne suffit plus : il faut la relativité, hors programme.

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Paragraphe 5 — Aspects énergétiques

5.1 Rappels de Première

• Énergie cinétique : $E_c = \dfrac{1}{2}\,m\,v^2$ (J).
• Énergie potentielle de pesanteur, axe $Oy$ vertical vers le haut : $E_{pp} = m\,g\,y$ (origine choisie en $y = 0$).
• Énergie mécanique : $E_m = E_c + E_{pp}$.
• Théorème de l'énergie cinétique : entre deux points A et B, $\Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{AB}(\vec{F})$.
• Travail d'une force constante : $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB}$. Pour le poids : $W_{AB}(\vec{P}) = m\,g\,(y_A - y_B)$.

5.2 Champ de pesanteur : conservation de l'énergie mécanique

Si l'action de l'air est négligeable, seul le poids travaille. Le poids est une force conservative : l'énergie mécanique se conserve. $E_m = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + m\,g\,y = \text{constante}$

Pendant la montée, l'énergie cinétique se convertit en énergie potentielle ; pendant la descente, c'est l'inverse. Au sommet, $E_c$ n'est pas nulle : la vitesse horizontale $v_0\cos\alpha$ demeure.

Exemple — Une vitesse qui ne dépend pas de l'angle. Un ballon est lancé à $v_0$ depuis une hauteur $h_0$. Quand il touche le sol ($y = 0$) : $\dfrac{1}{2} m v^2 = \dfrac{1}{2} m v_0^2 + m g h_0$, donc $v = \sqrt{v_0^2 + 2 g h_0}$, quel que soit l'angle de tir. Les équations horaires ne permettent pas de voir cela aussi vite.

Avec des frottements, l'énergie mécanique diminue : le travail des frottements est négatif ($\Delta E_m = W(\vec{f}) < 0$).

5.3 Champ électrique : le travail de la force électrique

La force électrique $\vec{F} = q\vec{E}$ est constante. Quand la particule va d'une armature à l'autre (distance d, dans le sens de la force), son travail vaut $W = |q|\,E\,d = |q|\,U$ D'après le théorème de l'énergie cinétique, une particule partie du repos et accélérée par une tension U acquiert : $\frac{1}{2}\,m\,v^2 = |q|\,U \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{v = \sqrt{\frac{2\,|q|\,U}{m}}}$

Exemple. Un électron accéléré par U = 2,0 kV : $v = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}6 \times 10^{-19} \times 2{,}0 \times 10^3}{9{,}1 \times 10^{-31}}} \approx 2{,}7 \times 10^7$ m·s⁻¹, environ 9 % de la vitesse de la lumière, sans avoir besoin de connaître la durée de l'accélération.

5.4 Capacité numérique : représenter l'évolution des énergies

Après un pointage vidéo, on calcule les énergies à chaque instant et on les représente. Voici une balle de masse 58 g lâchée sans vitesse, pointée toutes les 0,05 s :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m, g, dt = 0.058, 9.81, 0.05                 # masse (kg), g (m/s²), intervalle (s)
y = np.array([1.200, 1.188, 1.151, 1.090, 1.004, 0.893, 0.759, 0.599, 0.415])
t = dt * np.arange(len(y))

vy = (y[2:] - y[:-2]) / (2 * dt)             # vitesses aux points 1 à n-2
Ec = 0.5 * m * vy**2
Epp = m * g * y[1:-1]
Em = Ec + Epp

plt.plot(t[1:-1], Ec, "o-", label="Ec")
plt.plot(t[1:-1], Epp, "o-", label="Epp")
plt.plot(t[1:-1], Em, "o-", label="Em")
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("énergie (J)")
plt.legend()
plt.show()

On obtient une énergie mécanique constante, d'environ 0,68 J : la chute est libre. Avec un tableur, la démarche est la même, colonne par colonne.

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Repère historique : de la trajectoire des boulets à celle des électrons

• 1537 — Niccolò Tartaglia, mathématicien de Venise, étudie le tir des canons. Il affirme que la portée est maximale pour un tir à 45°, mais il imagine encore une trajectoire formée d'une ligne droite, d'un arc de cercle puis d'une chute verticale.
• 1638 — Galilée, dans ses Discours sur deux sciences nouvelles, montre que la trajectoire d'un projectile est une parabole : elle combine un mouvement horizontal uniforme et une chute verticale uniformément accélérée. C'est exactement la décomposition du § 1.3.
• 1897 — Joseph John Thomson dévie des « rayons cathodiques » entre deux plaques électrisées. De la déviation, il déduit le rapport charge/masse des particules qui les composent : il vient de découvrir l'électron.
• 1909 — Robert Millikan immobilise de minuscules gouttes d'huile électrisées dans le champ uniforme d'un condensateur plan, entre poids et force électrique. Il montre que leur charge est toujours un multiple d'une même charge élémentaire, $e$.
• 1928 — Rolf Widerøe, ingénieur norvégien, construit le premier accélérateur linéaire à tubes, sur une idée proposée par le Suédois Gustav Ising en 1924.
• 1966 — L'accélérateur linéaire de Stanford (SLAC), long de plus de 3 km, entre en service ; il permettra de mettre en évidence les quarks à l'intérieur du proton.

De Galilée à Thomson, la même parabole : seul change le champ qui la dessine.

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Ce qu'il faut retenir

1. Dans un champ uniforme, l'accélération est constante : $\vec{a} = \vec{g}$ dans le champ de pesanteur (action de l'air négligée), $\vec{a} = \dfrac{q\vec{E}}{m}$ dans un champ électrique (poids négligé).
2. On obtient $\vec{v}(t)$ puis $\overrightarrow{OG}(t)$ par primitives successives ; les constantes sont fixées par les conditions initiales.
3. Le mouvement est plan : il reste dans le plan défini par $\vec{v}_0$ et le champ.
4. Si $\vec{v}_0$ n'est pas colinéaire au champ, la trajectoire est une parabole, obtenue en éliminant t entre x(t) et y(t).
5. Condensateur plan : $\vec{E}$ uniforme, perpendiculaire aux armatures, de + vers −, $E = \dfrac{U}{d}$.
6. Accélérateur linéaire : succession d'accélérations entre des tubes ; chaque intervalle apporte $|q|\,U$.
7. Sans frottement, $E_m$ se conserve dans le champ de pesanteur ; une particule accélérée depuis le repos par une tension U atteint $v = \sqrt{2|q|U/m}$.