Mécanique des fluides

Thème du programme : Mouvement et interactions — Modéliser l'écoulement d'un fluide Niveau : Terminale, enseignement de spécialité physique-chimie Place dans la progression : jusqu'ici, la mécanique portait sur des objets solides : une balle, un satellite, un électron. Un fluide (un liquide ou un gaz) se déforme et s'écoule, mais il obéit aux mêmes principes : ses particules subissent des forces et possèdent de l'énergie. Ce chapitre explique pourquoi un paquebot d'acier flotte, pourquoi l'eau sort plus vite d'un tuyau qu'on pince, et comment une simple différence de vitesse crée une différence de pression.

Prérequis : pression, force pressante, loi fondamentale de la statique des fluides (Première) ; masse volumique ; énergie cinétique et énergie potentielle (Première) ; deuxième loi de Newton.

Dans ce chapitre, essaie de répondre aux questions posées avant de lire la suite : c'est en formulant ta propre hypothèse, même fausse, que tu retiens le mieux l'explication qui suit.

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Paragraphe 1 — Rappels : la pression dans un fluide

• Un fluide exerce sur toute surface S en contact avec lui une force pressante perpendiculaire à cette surface, de valeur $F = p\,S$, où p est la pression (en pascals, Pa). La pression atmosphérique vaut environ $p_0 = 1{,}013 \times 10^5$ Pa.
• Loi fondamentale de la statique des fluides (fluide incompressible au repos, axe z vertical vers le haut) : $p_B - p_A = \rho\,g\,(z_A - z_B)$ La pression augmente avec la profondeur : sous l'eau, elle gagne environ $10^5$ Pa (une atmosphère) tous les 10 m.

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Paragraphe 2 — La poussée d'Archimède

🤔 À toi de jouer. Un bloc d'acier coule, mais un paquebot de plusieurs dizaines de milliers de tonnes d'acier flotte. Qu'est-ce qui fait la différence ?

2.1 L'origine de la poussée d'Archimède

Imaginons un cube immergé dans l'eau. Le fluide exerce des forces pressantes sur chacune de ses faces :

• sur les faces latérales, les forces se compensent deux à deux (mêmes profondeurs, sens opposés) ;
• la face du bas, plus profonde, subit une pression plus grande que la face du haut : la force vers le haut l'emporte sur la force vers le bas.

La résultante de toutes ces forces pressantes est donc verticale et dirigée vers le haut : c'est la poussée d'Archimède. Elle existe parce que la pression augmente avec la profondeur.

Vérification. Pour un cube d'arête a dont la face supérieure est à la profondeur h : la différence des forces pressantes vaut $(p_{bas} - p_{haut})\,a^2 = \rho\,g\,a \times a^2 = \rho\,g\,a^3 = \rho\,V\,g$. C'est bien le poids du fluide déplacé.

2.2 L'expression vectorielle

Poussée d'Archimède. Tout corps immergé (en totalité ou en partie) dans un fluide au repos subit, de la part de ce fluide, une force verticale, dirigée vers le haut, dont la valeur est égale au poids du fluide déplacé : $\boxed{\vec{\Pi} = -\,\rho_{fluide}\,V_{imm}\,\vec{g}}$ avec $\rho_{fluide}$ la masse volumique du fluide (kg·m⁻³), $V_{imm}$ le volume immergé du corps (m³) et $\vec{g}$ le champ de pesanteur. Le signe « − » indique que $\vec{\Pi}$ est de sens opposé à $\vec{g}$.

La poussée d'Archimède dépend du fluide et du volume immergé, mais pas de la matière du corps, ni de la profondeur (une fois le corps entièrement immergé).

2.3 Flotter ou couler

Pour un corps entièrement immergé, lâché sans vitesse, on compare son poids $P = \rho_{corps}\,V\,g$ à la poussée $\Pi = \rho_{fluide}\,V\,g$ :

• si $\rho_{corps} > \rho_{fluide}$ : $P > \Pi$, le corps coule ;
• si $\rho_{corps} < \rho_{fluide}$ : $P < \Pi$, le corps remonte et flotte, partiellement immergé ; à l'équilibre, $P = \Pi$, d'où $\frac{V_{imm}}{V} = \frac{\rho_{corps}}{\rho_{fluide}}$

Réponse à la question : ce qui compte est la masse volumique moyenne du corps. La coque d'un paquebot enferme un énorme volume d'air : sa masse volumique moyenne est bien inférieure à celle de l'eau. Il s'enfonce jusqu'à déplacer un poids d'eau égal à son propre poids.

Exemples. Un iceberg ($\rho = 917$ kg·m⁻³) dans l'eau de mer (1 025 kg·m⁻³) est immergé à $\dfrac{917}{1\,025} \approx 89$ % : on n'en voit que la « partie émergée ». Un sous-marin règle sa profondeur en remplissant ou en vidant des ballasts ; une montgolfière s'élève parce que l'air chaud qu'elle contient est moins dense que l'air extérieur.

Méthode — Exploiter une mesure au dynamomètre. Un objet suspendu à un dynamomètre indique son poids P dans l'air, puis une valeur F plus faible une fois immergé. La différence est la poussée d'Archimède : $\Pi = P - F$. On en déduit le volume de l'objet, $V = \dfrac{\Pi}{\rho_{fluide}\,g}$, puis sa masse volumique.

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Paragraphe 3 — L'écoulement d'un fluide en régime permanent

3.1 Le cadre d'étude

• Un fluide est incompressible si sa masse volumique reste constante. C'est le cas des liquides, et des gaz lorsque leur vitesse reste faible devant celle du son.
• Un écoulement est en régime permanent (ou stationnaire) si, en chaque point, la vitesse et la pression ne varient pas au cours du temps (même si elles varient d'un point à l'autre).
• Une ligne de courant est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide.

3.2 Le débit volumique

Définition — Débit volumique. Volume de fluide qui traverse une section de la conduite par unité de temps : $D_v = \frac{V}{\Delta t} = S\,v$ avec $D_v$ en m³·s⁻¹, S l'aire de la section en m² et v la vitesse moyenne du fluide en m·s⁻¹.

3.3 La conservation du débit

🤔 À toi de jouer. Quand on pince l'extrémité d'un tuyau d'arrosage, le jet va beaucoup plus loin. Pourquoi ?

Pour un fluide incompressible en régime permanent, le fluide ne peut ni s'accumuler ni disparaître dans la conduite : tout ce qui entre par une section ressort par une autre. $\boxed{D_v = S_1\,v_1 = S_2\,v_2}$

Là où la section diminue, la vitesse augmente, dans le rapport inverse des sections. Pour une conduite circulaire, la section est proportionnelle au carré du diamètre : diviser le diamètre par 2 multiplie la vitesse par 4.

Réponse à la question : en pinçant le tuyau, on réduit la section de sortie ; le débit restant le même, l'eau sort plus vite, et le jet va plus loin.

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Paragraphe 4 — La relation de Bernoulli

4.1 L'énoncé

Relation de Bernoulli (elle t'est fournie). Pour un fluide parfait (sans viscosité), incompressible, en écoulement permanent, en tout point d'une même ligne de courant : $p + \frac{1}{2}\,\rho\,v^2 + \rho\,g\,z = \text{constante}$ avec p en Pa, ρ en kg·m⁻³, v en m·s⁻¹ et z l'altitude en m (axe vertical vers le haut).

Chaque terme est une énergie par unité de volume (J·m⁻³, c'est-à-dire des Pa) : $\dfrac{1}{2}\rho v^2$ correspond à l'énergie cinétique, $\rho g z$ à l'énergie potentielle de pesanteur, et p au travail des forces de pression. La relation de Bernoulli traduit la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant.

Cas particulier — fluide au repos. Si $v = 0$ partout, on retrouve $p + \rho g z =$ constante : c'est la loi de la statique des fluides.

4.2 Application : la vidange d'un réservoir (formule de Torricelli)

Un réservoir ouvert, rempli sur une hauteur h au-dessus d'un petit orifice, se vide. On applique Bernoulli entre la surface libre A (pression $p_0$, vitesse quasi nulle si le réservoir est large) et l'orifice B (pression $p_0$, altitude inférieure de h) : $p_0 + 0 + \rho g h = p_0 + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + 0 \qquad \Longrightarrow \qquad v_B = \sqrt{2\,g\,h}$

C'est la vitesse qu'aurait un objet tombé en chute libre d'une hauteur h. Pour h = 1,25 m : $v_B \approx 5$ m·s⁻¹.

Méthode — Appliquer la relation de Bernoulli.

1. Vérifier les conditions (fluide incompressible, régime permanent, frottements négligés).
2. Choisir deux points A et B d'une même ligne de courant, où l'on connaît le plus de grandeurs.
3. Écrire $p_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g z_A = p_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho g z_B$.
4. Utiliser, si besoin, la conservation du débit pour relier $v_A$ et $v_B$.
5. Résoudre et vérifier l'ordre de grandeur.

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Paragraphe 5 — L'effet Venturi

5.1 L'énoncé

Dans une conduite horizontale ($z$ constant), la relation de Bernoulli devient $p + \dfrac{1}{2}\rho v^2 =$ constante. Or, dans un rétrécissement, la vitesse augmente (conservation du débit). Donc :

Effet Venturi. Dans un rétrécissement d'une conduite, là où la vitesse du fluide augmente, la pression diminue. $p_1 - p_2 = \frac{1}{2}\,\rho\,(v_2^2 - v_1^2)$

On le met en évidence avec des tubes verticaux branchés sur la conduite : l'eau y monte moins haut au niveau du rétrécissement.

5.2 Des applications

• Le débitmètre de Venturi : en mesurant la différence de pression entre la conduite et son rétrécissement, on calcule la vitesse, donc le débit.
• La trompe à eau : au laboratoire, un jet d'eau rapide dans un rétrécissement crée une dépression qui aspire l'air d'un flacon, pour filtrer sous vide.
• Le pulvérisateur (parfum, peinture) : l'air soufflé rapidement au-dessus d'un tube crée une dépression qui aspire le liquide et le disperse en gouttelettes.
• Le carburateur des anciens moteurs : l'air accéléré dans un rétrécissement aspire l'essence.

Les limites du modèle. Les fluides réels sont visqueux : leur écoulement dissipe de l'énergie par frottement (on parle de pertes de charge). La relation de Bernoulli donne alors des valeurs un peu trop optimistes, surtout dans les conduites longues et étroites.

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Repère historique : de la baignoire d'Archimède à l'hydrodynamique

• IIIᵉ siècle av. J.-C. — Archimède de Syracuse énonce le principe qui porte son nom. Selon la légende, il l'aurait trouvé dans son bain, en cherchant à savoir si la couronne du roi Hiéron était en or pur.
• 1643 — Evangelista Torricelli établit la loi de la vidange des réservoirs ; l'année suivante, il invente le baromètre à mercure.
• 1648 — Blaise Pascal fait mesurer, par son beau-frère Florin Périer, la hauteur du mercure au pied et au sommet du puy de Dôme : la pression de l'air diminue avec l'altitude.
• 1732 — Henri Pitot invente un tube pour mesurer la vitesse de l'eau dans les rivières ; ses descendants équipent aujourd'hui tous les avions.
• 1738 — Daniel Bernoulli publie Hydrodynamica, où il relie la pression et la vitesse d'un fluide.
• 1783 — les frères Montgolfier font voler le premier ballon à air chaud, une application spectaculaire de la poussée d'Archimède dans l'air.
• 1797 — Giovanni Battista Venturi étudie l'écoulement dans les conduites rétrécies et décrit l'effet qui porte son nom.

Un fluide n'a pas de forme, mais il n'échappe pas aux lois de la mécanique : la pression, la vitesse et l'altitude s'échangent l'énergie comme la position et la vitesse d'une balle.

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Ce qu'il faut retenir

1. La pression augmente avec la profondeur : $p_B - p_A = \rho g (z_A - z_B)$.
2. Poussée d'Archimède : $\vec{\Pi} = -\rho_{fluide} V_{imm}\,\vec{g}$ ; verticale, vers le haut, égale au poids du fluide déplacé ; elle vient de la différence de pression entre le bas et le haut du corps.
3. Un corps flotte si sa masse volumique moyenne est inférieure à celle du fluide ; alors $\dfrac{V_{imm}}{V} = \dfrac{\rho_{corps}}{\rho_{fluide}}$.
4. Débit volumique $D_v = S\,v$ ; fluide incompressible, régime permanent : $S_1 v_1 = S_2 v_2$.
5. Relation de Bernoulli (fournie) : $p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z =$ constante le long d'une ligne de courant.
6. Vidange : $v = \sqrt{2gh}$. Effet Venturi : dans un rétrécissement, la vitesse augmente et la pression diminue.