Transformation nucléaire

Thème du programme : Constitution et transformations de la matière — Modéliser l'évolution temporelle d'un système, siège d'une transformation nucléaire Niveau : Terminale, enseignement de spécialité physique-chimie Place dans la progression : tu as étudié comment évolue dans le temps une transformation chimique, où les noyaux des atomes restent intacts. Ici, ce sont les noyaux eux-mêmes qui se transforment. Tu retrouveras pourtant des outils familiers : une équation différentielle du premier ordre, une solution exponentielle, un temps caractéristique. Ils permettent de dater Ötzi, de soigner la thyroïde et de comprendre comment se protéger des rayonnements.

Prérequis : composition du noyau, notation $^{A}_{Z}\mathrm{X}$, isotopes (Seconde) ; réactions nucléaires, conservation (Seconde et enseignement scientifique) ; fonction exponentielle et logarithme népérien, équation différentielle $y' = ay$ (mathématiques).

Dans ce chapitre, essaie de répondre aux questions posées avant de lire la suite : c'est en formulant ta propre hypothèse, même fausse, que tu retiens le mieux l'explication qui suit.

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Paragraphe 1 — Stabilité et instabilité des noyaux

1.1 Rappels sur le noyau

Un noyau est noté $^{A}_{Z}\mathrm{X}$ : Z est le nombre de protons (numéro atomique, il définit l'élément), A le nombre de nucléons (protons et neutrons), et N = A − Z le nombre de neutrons.

Isotopes. Noyaux de même Z (même élément) mais de N différents. Exemple : $^{12}_{6}\mathrm{C}$, $^{13}_{6}\mathrm{C}$ et $^{14}_{6}\mathrm{C}$ sont trois isotopes du carbone. Les deux premiers sont stables, le troisième est radioactif.

1.2 Le diagramme (N, Z)

On place chaque noyau connu dans un diagramme, avec N en abscisse et Z en ordonnée.

• Les noyaux stables (environ 250) forment une bande étroite, la vallée de stabilité. Pour les noyaux légers, elle suit la diagonale $N = Z$ ; pour les noyaux lourds, elle passe au-dessous : il faut davantage de neutrons pour « diluer » la répulsion électrique entre les protons.
• Les noyaux situés hors de cette bande (plus de 3 000 connus) sont instables, ou radioactifs : ils se transforment spontanément en un autre noyau, en émettant un rayonnement.

Méthode — Repérer les isotopes radioactifs d'un élément. Sur le diagramme, les isotopes d'un élément sont tous sur la ligne horizontale de son Z. Ceux qui sont hors de la vallée de stabilité (cases colorées dans les diagrammes usuels) sont radioactifs.

1.3 La radioactivité

Définition — Radioactivité. Transformation spontanée, aléatoire et inévitable d'un noyau instable (le noyau père) en un noyau plus stable (le noyau fils), avec émission d'une particule et, souvent, d'un rayonnement électromagnétique.

Elle ne dépend ni de la température, ni de la pression, ni de l'environnement chimique de l'atome : chauffer un échantillon radioactif ne change rien à sa radioactivité.

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Paragraphe 2 — Les équations des réactions nucléaires

2.1 Les lois de conservation

Lois de conservation (lois de Soddy). Lors d'une réaction nucléaire, il y a conservation :

• du nombre de nucléons A (somme des nombres du haut) ;
• de la charge électrique, donc du nombre Z (somme des nombres du bas).

2.2 Les trois types de radioactivité

🤔 À toi de jouer. Le carbone 14 se désintègre en émettant un électron. Quel noyau obtient-on ? Un électron ne se trouve pourtant pas dans le noyau : d'où vient-il ?

Exemples : $^{226}_{\;88}\mathrm{Ra} \rightarrow \;^{222}_{\;86}\mathrm{Rn} + \;^{4}_{2}\mathrm{He} \qquad (\alpha)$ $^{14}_{\;6}\mathrm{C} \rightarrow \;^{14}_{\;7}\mathrm{N} + \;^{\;0}_{-1}\mathrm{e} \qquad (\beta^-)$ $^{18}_{\;9}\mathrm{F} \rightarrow \;^{18}_{\;8}\mathrm{O} + \;^{0}_{1}\mathrm{e} \qquad (\beta^+)$

Réponse à la question : on obtient l'azote 14 (Z passe de 6 à 7, A reste 14). L'électron n'était pas dans le noyau : il est créé au moment où un neutron se transforme en proton ($^{1}_{0}\mathrm{n} \rightarrow \;^{1}_{1}\mathrm{p} + \;^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$). Pour la radioactivité β⁺, c'est un proton qui se transforme en neutron.

Méthode — Écrire une équation nucléaire.

1. Écrire le noyau père et la particule émise (d'après le type de radioactivité, ou les données).
2. Trouver A et Z du noyau fils par conservation.
3. Identifier l'élément grâce à Z (dans la classification périodique).

2.3 La radioactivité γ

Le noyau fils est souvent formé dans un état excité (il a trop d'énergie). Il revient à son état fondamental en émettant un rayonnement γ, une onde électromagnétique de très haute énergie (plus énergétique que les rayons X). La radioactivité γ ne change ni A ni Z : $^{60}_{28}\mathrm{Ni}^* \rightarrow \;^{60}_{28}\mathrm{Ni} + \gamma$ L'astérisque indique l'état excité.

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Paragraphe 3 — L'évolution temporelle d'une population de noyaux

3.1 Un phénomène aléatoire, une loi précise

On ne peut pas prévoir l'instant où un noyau donné va se désintégrer. En revanche, sur une grande population, la proportion de noyaux qui se désintègrent pendant une courte durée est parfaitement prévisible.

Constante radioactive λ. Pendant une courte durée Δt, chaque noyau a la même probabilité λΔt de se désintégrer. λ, en s⁻¹, ne dépend que du type de noyau. Le nombre de désintégrations pendant Δt, parmi N(t) noyaux, vaut donc $N(t) - N(t + \Delta t) = \lambda\,N(t)\,\Delta t$

3.2 La loi de décroissance radioactive

En faisant tendre Δt vers 0, on obtient une équation différentielle : $\frac{dN}{dt} = -\lambda\,N$

C'est une équation du type $y' = ay$ avec $a = -\lambda$. Ses solutions sont $N(t) = C\,e^{-\lambda t}$. La condition initiale $N(0) = N_0$ donne $C = N_0$ : $\boxed{N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}}$

On définit la constante de temps $\tau = \dfrac{1}{\lambda}$ : la tangente à l'origine de la courbe coupe l'axe des temps à la date τ.

3.3 Le temps de demi-vie

Définition — Temps de demi-vie $t_{1/2}$. Durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés.

$N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}$, soit $e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{1}{2}$, d'où $\boxed{t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}}$

Au bout de $n$ demi-vies, il reste $\dfrac{N_0}{2^n}$ noyaux : la moitié après $t_{1/2}$, le quart après $2t_{1/2}$, 1/1 024 (environ 0,1 %) après $10\,t_{1/2}$.

3.4 L'activité

Définition — Activité A. Nombre de désintégrations par seconde d'un échantillon. Unité : le becquerel (Bq), 1 Bq = 1 désintégration par seconde. $A(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda\,N(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$

L'activité décroît avec la même loi et le même temps de demi-vie que le nombre de noyaux. C'est elle que l'on mesure en pratique, avec un compteur.

Ordres de grandeur. Le corps humain : environ 8 000 Bq (surtout le potassium 40 et le carbone 14) ; 1 kg de granite : environ 1 000 Bq ; 1 g de radium 226 : $3{,}7 \times 10^{10}$ Bq (c'était la définition de l'ancienne unité, le curie).

Exploiter une courbe. Pour lire $t_{1/2}$ sur une courbe N(t) ou A(t), on cherche la date à laquelle la grandeur vaut la moitié de sa valeur initiale. On peut aussi tracer $\ln A$ en fonction de t : on obtient une droite de pente $-\lambda$.

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Paragraphe 4 — La datation par radioactivité

4.1 Le principe

🤔 À toi de jouer. Comment la radioactivité peut-elle servir d'horloge ?

Si l'on connaît l'activité (ou le nombre de noyaux) au moment où l'horloge a démarré, et celle d'aujourd'hui, la loi de décroissance donne la durée écoulée : $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t} \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{A_0}{A(t)} = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\frac{A_0}{A(t)}$

4.2 Le carbone 14

Le carbone 14 est produit en permanence dans la haute atmosphère par les rayons cosmiques. Les êtres vivants, par la respiration et l'alimentation, en absorbent en même proportion que l'atmosphère : leur activité est constante, $A_0 \approx 0{,}23$ Bq par gramme de carbone. À leur mort, les échanges cessent : le carbone 14 n'est plus renouvelé et son activité décroît. L'horloge démarre.

Exemple — Ötzi. Retrouvé en 1991 dans un glacier des Alpes, cet homme a été daté par le carbone 14 : l'activité de ses tissus valait environ 0,120 Bq par gramme de carbone. $t = \dfrac{5\,730}{\ln 2}\ln\dfrac{0{,}227}{0{,}120} \approx 5\,300$ ans.

Le carbone 14 convient pour dater des restes organiques (bois, os, tissus, charbon) jusqu'à environ 45 000 ans : au-delà, il en reste trop peu pour être mesuré.

4.3 Dater des roches

Pour les roches, on utilise des noyaux de très longue demi-vie : potassium 40 ($t_{1/2} = 1{,}25$ milliard d'années), qui donne de l'argon 40, ou uranium 238 (4,47 milliards d'années), qui aboutit au plomb 206. En mesurant la quantité de noyaux fils accumulés, on remonte à l'âge de formation de la roche. C'est ainsi qu'on a établi l'âge de la Terre : 4,5 milliards d'années.

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Paragraphe 5 — La radioactivité, la médecine et la protection

5.1 Une radioactivité naturelle

Nous vivons dans un environnement naturellement radioactif : le radon, gaz issu de l'uranium des sols granitiques, qui peut s'accumuler dans les caves ; les rayons cosmiques ; le potassium 40 et le carbone 14 de nos aliments et de notre corps. En France, cette radioactivité naturelle représente l'essentiel de l'exposition moyenne de la population, avec les examens médicaux.

5.2 Applications médicales

• Imagerie (scintigraphie, TEP). On injecte une molécule marquée par un noyau radioactif, qui se fixe sur un organe ou une tumeur ; un détecteur localise le rayonnement. Le technétium 99m (émetteur γ, 6 h) sert aux scintigraphies osseuses ; le fluor 18 (β⁺, 110 min), fixé sur une molécule proche du glucose, révèle les cellules cancéreuses très actives (tomographie par émission de positons, TEP). On choisit des noyaux de demi-vie courte : assez longue pour l'examen, assez courte pour que le patient ne reste pas radioactif.
• Radiothérapie. On détruit des cellules cancéreuses avec des rayonnements : faisceaux externes (autrefois du cobalt 60, aujourd'hui surtout des accélérateurs linéaires), sources placées au contact de la tumeur (curiethérapie), ou iode 131 ingéré, qui se fixe dans la thyroïde.
• Stérilisation du matériel médical par rayonnement γ.

5.3 Se protéger des rayonnements ionisants

Les rayonnements α, β et γ sont ionisants : ils arrachent des électrons aux atomes qu'ils traversent et peuvent endommager l'ADN des cellules. Les effets dépendent de la dose reçue.

Trois moyens de protection, et leurs facteurs d'influence.

• La distance : l'exposition diminue très vite quand on s'éloigne d'une source (pour une source ponctuelle, elle est divisée par 4 quand la distance double).
• La durée : la dose reçue est proportionnelle au temps d'exposition.
• L'écran : son efficacité dépend du type de rayonnement, du matériau et de son épaisseur. Une feuille de papier arrête les α, quelques millimètres d'aluminium arrêtent les β, il faut du plomb ou du béton épais pour atténuer les γ.

Attention. Une source α est inoffensive à l'extérieur du corps (la peau suffit à l'arrêter), mais très dangereuse si elle est inhalée ou ingérée : toute son énergie est alors déposée dans les tissus. C'est le risque lié au radon.

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Capacité numérique — Simuler le caractère aléatoire de la désintégration

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N0, t12 = 1000, 8.02                  # iode 131 : demi-vie en jours
lam = np.log(2) / t12
dt = 0.5                              # pas de temps (jours)
p = 1 - np.exp(-lam * dt)             # probabilité de désintégration pendant dt

t, N = [0], [N0]
while t[-1] < 50:
    n = N[-1]
    desint = np.sum(np.random.rand(n) < p)   # tirage au sort pour chaque noyau
    N.append(n - desint)
    t.append(t[-1] + dt)

t = np.array(t)
plt.plot(t, N, label="simulation")
plt.plot(t, N0 * np.exp(-lam * t), "--", label="N0 exp(-λt)")
plt.xlabel("t (jours)")
plt.ylabel("N")
plt.legend()
plt.show()

Chaque exécution donne une courbe un peu différente, mais toujours proche de la loi exponentielle. C'est aussi ce que montre la simulation en haut de page.

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Repère historique : un siècle de radioactivité

• 1896 — Henri Becquerel découvre que des sels d'uranium impressionnent une plaque photographique enveloppée, sans avoir été éclairés : c'est la radioactivité.
• 1898 — Marie et Pierre Curie découvrent deux nouveaux éléments bien plus radioactifs que l'uranium, le polonium et le radium. Marie Curie invente le mot « radioactivité ».
• 1899-1900 — Ernest Rutherford distingue les rayonnements α et β ; Paul Villard découvre les rayons γ.
• 1902 — Rutherford et Frederick Soddy comprennent qu'un élément se transforme en un autre, et que le nombre de noyaux décroît de façon exponentielle.
• 1903 — Becquerel et les Curie reçoivent le prix Nobel de physique ; 1911 — Marie Curie reçoit seule le prix Nobel de chimie.
• 1934 — Irène et Frédéric Joliot-Curie fabriquent le premier noyau radioactif artificiel, le phosphore 30, émetteur β⁺. C'est l'ouverture vers les radioéléments médicaux.
• 1949 — Willard Libby met au point la datation par le carbone 14 (prix Nobel de chimie 1960).

Du hasard à l'échelle d'un noyau naît une loi parfaitement régulière à l'échelle de milliards de noyaux : c'est ce qui fait de la radioactivité une horloge.

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Ce qu'il faut retenir

1. Noyau $^{A}_{Z}\mathrm{X}$ : Z protons, $N = A - Z$ neutrons. Isotopes : même Z, N différents.
2. Diagramme (N, Z) : vallée de stabilité ; trop de neutrons → β⁻ ; trop de protons → β⁺ ; noyaux lourds → α.
3. Réaction nucléaire : conservation de A et de Z. α : $^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; β⁻ : $^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ ; β⁺ : $^{0}_{1}\mathrm{e}$ ; γ : désexcitation, A et Z inchangés.
4. $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$, d'où $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ ; $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ; $\tau = \dfrac{1}{\lambda}$.
5. Activité $A = \lambda N$ (Bq) ; elle suit la même loi : $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$.
6. Datation : $t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{A_0}{A}$ ; carbone 14 jusqu'à environ 45 000 ans.
7. Médecine : imagerie (Tc 99m, F 18), radiothérapie, iode 131. Protection : distance, durée, écran adapté au rayonnement.